对于同一平面内的 及内部的射线 ，给出如下定义：若组成的 3 个角： ， 和 中，一个角的度数是另一个角度数的两倍时，则称射线 是 的 “ 牛线 ” ．

（ 1 ）图 1 中， 平分 ，则射线 _______ 的一条 “ 牛线 ” ．（填 “ 是 ” 或 “ 不是 ” ）．

（ 2 ）当射线 是 的 “ 牛线 ” 时，直接写出所有满足条件的 与 的关系．

（ 3 ）已知：如图 2 ，在平面内， ，若射线 绕点 O 从射线 的位置开始，以每秒 5° 的速度逆时针方向旋转．同时射线 绕点 O 以每秒 1° 的速度逆时针方向旋转，当射线 与射线 碰撞后，射线 的速度发生变化，以每秒 5° 的速度继续旋转，此时的射线 则以每秒 1° 的速度继续旋转，当射线 与射线 的反向延长线重合时，所有旋转皆停止，若旋转的时间记为 t 秒，当射线 是 的 “ 牛线 ” 时，直接写出所有满足条件的 t 的值．

答案

（ 1 ）是；（ 2 ） ， ， ；（ 3 ） 或 或 或

【分析】

（ 1 ）由角平分线的性质得 ，根据 “ 牛线 ” 的定义可以证明射线 OC 是 的一条牛线；

（ 2 ）分情况讨论， ， ， ，分别求出 与 的关系；

（ 3 ）分情况讨论，在 OC 与 OA 重合前，设 ， ，由（ 2 ）中的关系式列方程求解，在 OC 和 OA 重合后，设重合后旋转的时间是 ，则 ， ，同上列方程求解即可．

【详解】

解：（ 1 ）是，

∵ 平分 ，

∴ ，

∴ 射线 OC 是 的一条牛线；

（ 2 ） ∵ 射线 OC 是 的一条牛线，

∴ ，

或 ，此时 ，

或 ，此时 ；

（ 3 ） ① 如图，在 OC 与 OA 重合前，

， ，

若 ，则 ，解得 ，

若 ，则 ，解得 ，

若 ，则 ，解得 ，

当 OC 和 OA 重合时， ，解得 ，

此时 ，

∵ 当射线 与射线 的反向延长线重合时，所有旋转皆停止，

∴ ，解得 ，

∴ ，即 ，

② 如图，在 OC 和 OA 重合后， ，

设重合后旋转的时间是 ，

， ，

若 ，则 ，解得 ，则 （舍去），

若 ，则 ，解得 ，则 （舍去），

若 ，则 ，解得 ，则 ，

综上： 的值是 或 或 或 ．

【点睛】

本题考查角度的计算，解题的关键是掌握列方程求解角度运动问题的方法，需要注意进行分类讨论．