如图 1 ,点 O 在直线 上,过点 O 引一条射线 ,使 ,将一个直角三角尺的直角顶点放在点 O 处,直角边 在射线 上,另一边 在直线 的下方.
(操作一):将图 1 中的三角尺绕着点 O 以每秒 的速度按顺时针方向旋转.当它完成旋转一周时停止,设旋转的时间为 t 秒.
( 1 ) 的度数是 ___________ ,图 1 中与它互补的角是 ___________ .
( 2 )三角尺旋转的度数可表示为 ___________ (用含 t 的代数式表示):当 ___________ 时, .
(操作二):如图 2 将一把直尺的一端点也放在点 O 处,另一端点 E 在射线 上.如图 3 ,在三角尺绕着点 O 以每秒 的速度按顺时针方向旋转的同时,直尺也绕着点 O 以每秒 的速度按顺时针方向旋转,当一方完成旋转一周时停止,另一方也停止旋转,设旋转的时间为 t 秒.
( 3 )当 t 为何值时, ,并说明理由?
( 4 )试探索:在三角尺与直尺旋转的过程中,当 ,是否存在某个时刻,使得 与 中其中一个角是另一个角的两倍?若存在,请求出所有满足题意的 t 的值;若不存在,请说明理由.
( 1 ) , ;( 2 ) , 秒或 秒;( 3 ) 4 秒或 22 秒,理由见解析;( 4 )存在, 秒、 秒、 秒
【分析】
( 1 )根据 与 互补即可得出结果;
( 2 )用旋转的速度乘以 得到度数,由 ,分情况讨论,求出旋转角的度数,即可算出 的值;
( 3 )分类讨论,用 表示出三角尺和直尺的旋转度数,根据 ,列式求出 的值;
( 4 )分类讨论,当 在 左侧或当 在 右侧,根据 与 中其中一个角是另一个角的两倍,列出式子求出 的值.
【详解】
( 1 ) ∵ , ,
∴ ,
与 互补的角是 ,
故答案是: , ;
( 2 )旋转的速度是每秒 ,
∴ 旋转的度数表示为 ,
当 时,
① ,
∴ ,
,解得 ,
② 旋转角为 ,
,解得 ,
故答案是: , 或 ;
( 3 ) ① 如图 ① 当 在 左侧时, 度, 度,
∵ ,
∴ ,
由题意得 ,解得 ,
② 如图 ② 当 在 右侧时,三角尺旋转的角度为 度,直尺旋转的角度为 度,
∵ ,
∴ ,
由题意得 ,解得 ,
综上所述,当 秒或 22 秒时, ;
( 4 ) ① 当 在 左侧时,
( ⅰ ) ,如图 ③ ,
,解得 ;
( ⅱ ) ,如图 ④ ,
,解得 ;
② 当 在 右侧时,
( ⅰ ) ,如图 ⑤ ,
,解得 ;
( ⅱ ) ,因为 ,所以不存在;
∴ 综上所述,当 秒、 秒、 秒时两个角其中一个是另一个的两倍.
【点睛】
本题考查角度旋转问题,解题的关键是根据角度旋转的速度设出旋转角的度数,再根据题意列出与时间 有关的方程进行求解,需要掌握分类讨论的思想.
角的基本概念:
从静态角度认识角:由一个点出发的两条射线组成的图形叫角;
从动态角度认识角:一条射线绕着它的顶点旋转到另一个位置,则这两条射线组成的图像叫角。有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点叫做角的顶点,这两条射线叫做角的边。
①因为射线是向一方无限延伸的,所以角的两边无所谓长短,即角的大小与它的边长无关。
②角的大小可以度量,可以比较。
③根据角的度数,角可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角。
角的表示:角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示,如∠1,∠α,∠BAD等。
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