如图,点 B 、 C 在线段 上,且 ,点 M 是线段 的中点,点 N 是线段 上的一点,且 .
( 1 )若点 N 是线段 的中点,求 的长;
( 2 )当 时,求 的长.
( 1 ) 14 ( 2 )
【分析】
( 1 )根据题意可得出 CM = AC , CN = CD ,所以 MN = CM+CN = (AC+CD) = AD = 9 ,从而得出 AD 的长,根据 AB : BC : CD = 2 : 3 : 4 ,可得出 AB 的长,继而求出 BD 的长;
( 2 )根据题意,当 CN = CD 时,设 AB = 2x , BC = 3x , CD = 4x ,可得 AC = 5x ,因为点 M 是线段 AC 的中点,可得 CM = 2.5x ,因为 CN = CD ,可求出 CN= x ,根据 MN=9 ,可解出 x 的值,继而得出 BD 的长;
【详解】
解:( 1 )如图,
∵ 点 M 是线段 AC 的中点,点 N 是线段 CD 的中点,
∴CM = AC , CN = CD ,
∴MN = CM+CN = (AC+CD) = AD = 9 ,
∴AD = 18 ,
∵AB : BC : CD = 2 : 3 : 4 ,
∴AB = ×AD = 4 ,
∴BD = AD ﹣ AB = 18 ﹣ 4 = 14 ;
( 2 ) ∵ 当 CN = CD 时,如图,
∵AB : BC : CD = 2 : 3 : 4 ,
∴ 设 AB = 2x , BC = 3x , CD = 4x ,
∴AC = 5x ,
∵ 点 M 是线段 AC 的中点,
∴CM = AC = 2.5x ,
∵CN = CD = x ,
∴CM+CN = x+ x = MN = 9 ,
∴x = ,
∴BD = 7x = ;
【点睛】
本题考查了线段的中点,线段的和与差的计算及线段三等分点的计算.能求出各个线段的长度是解题的关键.
直线、射线、线段的基本性质:
图形 | 表示法 | 端点 | 延长线 | 能否度量 | 基本性质 | |
直线 | 没有端点的一条线 | 一条线, 不要端点 |
无 | 可以向两边无限延长 | 否 | 两端都没有端点,可以无限延长,不可测量的线 |
射线 | 只有一个端点的一条线 | 一条线, 只有一边有端点 |
一个 | 可以向一边无限延长 | 否 | 一端有端点,可以向一边无限延长,不可测量的线 |
线段 | 两边都有端点的一条线 | 一条线,两边都有端点 | 两个 | 不能延长 | 能 | 两端都有端点,不能延长,可测量的线 |
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