如图,射线 OM 上有 A 、 B 、 C 三点,满足 OA = 40cm , AB = 30cm , BC = 20cm .点 P 从点 O 出发,沿 OM 方向以 2cm/ 秒的速度匀速运动,点 Q 从点 C 出发在线段 CO 上向点 O 匀速运动,两点同时出发,当点 Q 运动到点 O 时,点 P , Q 停止运动.
( 1 )当点 P 与点 Q 都同时运动到线段 AB 的中点时,求点 Q 的运动速度;
( 2 )当 PA = 2PB 时,点 Q 运动到的位置恰好是线段 OB 的中点,求点 Q 的运动速度;
( 3 )自点 P 运动到线段 AB 上时,分别取 OP 和 AB 的中点 E 、 F ,求 的值.
( 1 )点 Q 的运动速度为 cm/s ;( 2 )点 Q 的运动速度为 cm/s 或 cm/s ;( 3 ) 2
【分析】
( 1 )设经过 ts ,点 P 与点 Q 都同时运动到线段 AB 的中点,根据线段中点的定义得到 BQ = 15cm ,求得 CQ = 35cm ,于是得到结论;
( 2 )设 Q 的速度为 v ,经过 ts 后,点 Q 运动到的位置恰好是线段 OB 的中点,点 O 对应数轴上的 0 ,点 A 对应数轴上的 40 ,点 B 对应数轴上的 70 ,点 C 对应数轴上的 90 ,点 P 对应数轴上的 2t ,点 Q 对应数轴上的 90 ﹣ vt ,根据题意列出方程即可求出 v 的值;
( 3 )设经过 ts 时,点 P 在 AB 之间,点 O 对应数轴上的 0 ,点 A 对应数轴上的 40 ,点 B 对应数轴上的 70 ,点 C 对应数轴上的 90 ,点 P 对应数轴上的 2t ,由于 OP 和 AB 的中点 E , F ,所以点 E 对应数轴上的 t ,点 F 对应数轴上的 55 ,从而可知 EF = 55 ﹣ t , AP = 2t ﹣ 40 , OB = 70 ,代入原式即可求出答案.
【详解】
解:( 1 ) ∵AB = 30cm ,
,
∴CQ = BC+BQ = 35cm ,
设经过 ts ,点 P 与点 Q 都同时运动到线段 AB 的中点,
∴OP = OA+PA = 40+15 = 55 ( cm ),
∴t = ( s ),
∴ 点 Q 的运动速度= 35÷ = ( cm/s );
答:点 Q 的运动速度为 cm/s ;
( 2 )设 Q 的速度为 v ,经过 ts 后,点 Q 运动到的位置恰好是线段 OB 的中点,点 O 对应数轴上的 0 ,点 A 对应数轴上的 40 ,点 B 对应数轴上的 70 ,点 C 对应数轴上的 90 ,
∴ 点 P 对应数轴上的 2t ,点 Q 对应数轴上的 90 ﹣ vt ,
∵ 点 Q 运动到的位置恰好是线段 OB 的中点,
∴ = 90 ﹣ vt ,
∴vt = 55 ,
∵2PB = PA ,
∴2|2t ﹣ 70| = |2t ﹣ 40| ,
∴ 解得: t = 50 或 t = 30 ,
当 t = 50s 时,
此时 v = ,
而点 Q 到达 O 点所需要时间为 s 50s ,
当 t = 30 时,
此时 v = ,
而点 Q 到达 O 点所需要的时间为 30s ,
综上所述,当 v = 或 v = cm/s ;
( 3 )设经过 ts 时,点 P 在 AB 之间,
点 O 对应数轴上的 0 ,点 A 对应数轴上的 40 ,点 B 对应数轴上的 70 ,点 C 对应数轴上的 90 ,
∴ 点 P 对应数轴上的 2t ,
∵OP 和 AB 的中点 E , F ,
∴ 点 E 对应数轴上的 t ,点 F 对应数轴上的 55 ,
∴EF = 55 ﹣ t , AP = 2t ﹣ 40 , OB = 70 ,
∴ 原式= = 2 .
【点睛】
本题主要考查一元一次方程的应用,数形结合列出方程是解题的关键.
直线、射线、线段的基本性质:
图形 | 表示法 | 端点 | 延长线 | 能否度量 | 基本性质 | |
直线 | 没有端点的一条线 | 一条线, 不要端点 |
无 | 可以向两边无限延长 | 否 | 两端都没有端点,可以无限延长,不可测量的线 |
射线 | 只有一个端点的一条线 | 一条线, 只有一边有端点 |
一个 | 可以向一边无限延长 | 否 | 一端有端点,可以向一边无限延长,不可测量的线 |
线段 | 两边都有端点的一条线 | 一条线,两边都有端点 | 两个 | 不能延长 | 能 | 两端都有端点,不能延长,可测量的线 |
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