已知 ， OD 为 ∠AOB 内部的一条射线．

（ 1 ）如图（ 1 ），若 ， OD 为 ∠AOB 内部的一条射线， ， OE 平分 ∠AOB ，求 ∠DOE 的度数；

（ 2 ）如图（ 2 ），若 OC 、 OD 是 ∠AOB 内部的两条射线， OM 、 ON 分别平分 ∠AOD ， ∠BOC ，且 ，求 的值；

（ 3 ）如图（ 3 ）， C ₁ 为射线 OB 的反向延长线上一点，将射线 OB 绕点 O 顺时针以 6°/s 的速度旋转，旋转后 OB 对应射线为 OB ₁ ，旋转时间为 t 秒（ 0 ＜ t „ 35 ）， OE 平分 ∠AOB ₁ ， OF 为 ∠C ₁ OB ₁ 的三等分线， ，若 ，直接写出 t 的值为 _________ ．

答案

（ 1 ）当 OD 在 ∠BOC 内部时， ；当 OD 在 ∠AOC 内部时， ；（ 2 ） 的值为 2 ；（ 3 ） 3 或 15 ．

【分析】

（ 1 ）先根据当 OD 在 ∠BOC 内部时，当 OD 在 ∠AOC 内部时，求出 的度数，再根据角平分线的定义求出 ，然后根据角的和差即可得；

（ 2 ）设 ，先根据角平分线的定义得出 ，再根据角的和差化简所求式子的分子分母即可得；

（ 3 ）先依题意，找到两个临界位置： 在 AO 的反向延长线上； 与 重合；然后根据角平分线的定义、角的和差倍分求解即可得．

【详解】

（ 1 ）如图 1 ，当 OD 在 ∠BOC 内部时，

，

，

平分 ， ，

，

；

当 OD 在 ∠AOC 内部时，

，

，

平分 ， ，

，

；

（ 2 ）设 ，

则 ，

∴ ，

，

，

，

，

故 的值为 2 ；

（ 3 ） ，旋转速度为 ，

射线 OB 旋转到 OA 即停止转动，

由题意得， ，

平分 ，

，

因 ，

则有两个临界位置： 在 AO 的反向延长线上，此时 ；

与 重合，此时 ，

因此，分以下三种情况分析：

如图 3-1 ，当 时，

则 ，

，

解得 ，符合题设，

② 如图 3-2 ，当 时，

则 ，

，

解得 ，符合题设，

③ 如图 3-3 ，当 时，

则 ，

，

解得 或 ，均不符题设，舍去，

综上， t 的值为 3 或 15 ，

故答案为： 3 或 15 ．

【点睛】

本题考查了角平分线的定义、角的和差倍分，较难的是题（ 3 ），依据题意，找出两个临界位置，从而分三种情况讨论构造方程是解题关键．