如图，两条直线 ， 相交于点 ，且 ，射线 从 开始绕 点逆时针方向旋转，速度为 ，射线 同时从 开始绕 点顺时针方向旋转，速度为 ．两条射线 ， 同时运动，运动时间为 秒．（本题出现的角均小于平角）

（ 1 ）当 时， ， ；

（ 2 ）当 时，若 ．试求出 的值；

（ 3 ）当 时，探究 的值，问： 满足怎样的条件是定值；满足怎样的条件不是定值？

答案

（ 1 ） 144° ， 66° ；（ 2 ） 秒或 10 秒；（ 3 ）当 0 ＜ t ＜ 时， 的值是 1 ；当 ＜ t ＜ 6 时， 的值不是定值．

【分析】

（ 1 ）根据时间和速度分别计算 ∠BOM 和 ∠DON 的度数，再根据角的和与差可得结论；

（ 2 ）分两种情况： ① 如图所示，当 0 ＜ t≤7.5 时， ② 如图所示，当 7.5 ＜ t ＜ 12 时，分别根据已知条件列等式可得 t 的值；

（ 3 ）分两种情况，分别计算 ∠BON 、 ∠COM 和 ∠MON 的度数，代入可得结论．

【详解】

解：（ 1 ）由题意得：

当 时，

∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=2×15°+90°+2×12°=144° ，

∠AON=∠AOD-∠DON=90°-24°=66° ，

故答案为： 144° ， 66° ；

（ 2 ）当 ON 与 OA 重合时， t=90÷12=7.5 （ s ）

当 OM 与 OA 重合时， t=180°÷15=12 （ s ）

如图所示， ① 当 0 ＜ t≤7.5 时， ∠AON=90°-12t° ， ∠AOM=180°-15t°

由 ∠AOM=3∠AON-60° ，可得 180-15t=3 （ 90-12t ） -60 ，解得 t= ，

② 当 7.5 ＜ t ＜ 12 时， ∠AON=12t°-90° ， ∠AOM=180°-15t° ，

由 ∠AOM=3∠AON-60° ，可得 180-15t=3 （ 12t-90 ） -60 ，解得 t=10 ，

综上， t 的值为 秒或 10 秒；

（ 3 ）当 ∠MON=180° 时， ∠BOM+∠BOD+∠DON=180° ，

∴15t+90+12t=180 ，解得 t= ，

如图所示， ① 当 0 ＜ t ＜ 时， ∠COM=90°-15t° ， ∠BON=90°+12t° ，

∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=15t°+90°+12t° ，

∴ （定值），

② 当 ＜ t ＜ 6 时， ∠COM=90°-15t° ， ∠BON=90°+12t° ，

∠MON=360°- （ ∠BOM+∠BOD+∠DON ） =360°- （ 15t°+90°+12t° ） =270°-27t° ，

∴ （不是定值）．

综上所述，当 0 ＜ t ＜ 时， 的值是 1 ；当 ＜ t ＜ 6 时， 的值不是定值．

【点睛】

本题主要考查了一元一次方程的应用，角的和差关系的计算，解决问题的关键是将相关的角用含 t 的代数式表示出来，并根据题意列出方程进行求解，以及进行分类讨论，解题时注意方程思想和分类思想的灵活运用．