直线 与直线 相交于点 O , 平分 .如图,射线 在 内部.
( 1 )若 ,判断 是否为 的平分线,并说明理由:
( 2 )若 平分 ,且 ,求 的度数.
( 1 )是,理由见解析;( 2 ) 80°
【分析】
( 1 )根据 OF⊥OE , OE 平分 ∠BOD ,即可判断 OF 是 ∠AOD 的平分线;
( 2 )根据 3∠AOF=7∠DOF ,设 ∠DOF=3x ,则 ∠AOF=7x ,分别表示出 ∠AOF , ∠DOF , ∠BOD ,得到方程,解之即可.
【详解】
解:( 1 ) OF 是 ∠AOD 的平分线,理由如下:
∵OF⊥OE ,
∴∠EOF=90° ,
∴∠BOE+∠AOF=90° ,
∵OE 平分 ∠BOD ,
∴∠BOE=∠DOE ,
∴∠DOE+∠AOF=90° ,
∵∠DOE+∠DOF=90° ,
∴∠AOF=∠DOF ,
∴OF 是 ∠AOD 的平分线;
( 2 ) ∵3∠AOF=7∠DOF ,
设 ∠DOF=3x ,则 ∠AOF=7x ,
∵OF 平分 ∠AOE ,
∴∠AOF=∠EOF=7x ,
∴∠DOE=4x ,
∵OE 平分 ∠BOD ,
∴∠BOE=4x ,
∴∠AOF+∠EOF+∠BOE=180° ,即 7x+7x+4x=180° ,
∴x=10° ,
∴∠BOD=8x=80° ,
∴ ,
答: ∠AOC 的度数为 80° .
【点睛】
本题考查了垂线、角平分线的定义、对顶角、邻补角,解决本题的关键是掌握角平分线定义.
角的基本概念:
从静态角度认识角:由一个点出发的两条射线组成的图形叫角;
从动态角度认识角:一条射线绕着它的顶点旋转到另一个位置,则这两条射线组成的图像叫角。有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点叫做角的顶点,这两条射线叫做角的边。
①因为射线是向一方无限延伸的,所以角的两边无所谓长短,即角的大小与它的边长无关。
②角的大小可以度量,可以比较。
③根据角的度数,角可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角。
角的表示:角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示,如∠1,∠α,∠BAD等。
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