杨辉是我国南宋时期杰出的数学家和教育家,下图是杨辉在公元 1261 年著作《详解九章算法》里面的一张图,即 “ 杨辉三角 ” ,该图中有很多规律,请仔细观察,解答下列问题:
( 1 )图中给出了七行数字,根据构成规律,第 8 行中从右边数第 4 个数是 _______ ;
( 2 )利用不完全归纳法探索出第 行中的所有数字之和为 _________ .
35
【分析】
( 1 )根据图示规律可列出第 8 行排列的数字,即可求出第 8 行中从右边数第 4 个数.
( 2 )由题意得出每行的数字之和等于 2 的序数减一次幂,据此解答即可.
【详解】
( 1 )根据排列规律,第 8 行排列的数字为:
1 、 7 、 21 、 35 、 35 、 21 、 7 、 1 ,
故第 8 行中从右边数第 4 个数是 35 ,
故答案为: 35 .
( 2 ) ∵ 第 1 行数字之和为: ,
第 2 行数字之和为: ,
第 3 行数字之和为: ,
第 4 行数字之和为: ,
……
∴ 第 n 行数字之和为: ,
故答案为: .
【点睛】
本题主要考查数字的变化类.解题的关键是分析每项的数字特征,分析总结得出规律,根据求解即可.
代数式的性质:
(1)单独一个数或一个字母也是代数式,如-3,a.
(2)代数式中只能有运算符号,不应含有等于号(=、≡)、不等号(≠、≤、≥、<、>、≮、≯)、约等号≈,也就是说,等式或不等式不是代数式,但代数式中可以含有括号。 可以有绝对值。例如:|x|,|-2.25| 等。
(3)代数式中的字母表示的数必须使这个代数式有意义,即在实际问题中,字母表示的数要符合实际问题。
代数式的分类:
在实数范围内,代数式分为有理式和无理式。
一、有理式
有理式包括整式(除数中没有字母的有理式)和分式(除数中有字母且除数不为0的有理式)。
这种代数式中对于字母只进行有限次加、减、乘、除和整数次乘方这些运算.
整式有包括单项式(数字或字母的乘积或单独的一个数字或字母)和多项式(若干个单项式的和).
1.单项式
没有加减运算的整式叫做单项式。
单项式的系数:单项式中的数字因数叫做单项式(或字母因数)的数字系数,简称系数
单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数
2.多项式
个单项式的代数和叫做多项式;多项式中每个单项式叫做多项式的项。不含字母的项叫做常数项。
多项式的次数:多项式里,次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数。
齐次多项式:各项次数相同的多项式叫做齐次多项式。
不可约多项式:次数大于零的有理系数的多项式,不能分解为两个次数大于零的有理数系数多项式的乘积时,称为有理数范围内不可约多项式。
实数范围内不可约多项式是一次或某些二次多项式,复数范同内不可约多项式是一次多项式。
对称多项式:在多元多项式中,如果任意两个元互相交换所得的结果都和原式相同,则称此多项式是关于这些元的对称多项式。
同类项:多项式中含有相同的字母,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。
二、无理式
含有字母的根式或字母的非整数次乘方的代数式叫做无理式。
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