若一个正整数能表示为两个正整数的平方差,则称它为 “ 平方差数 ” (如 , ,则 3 和 16 都是 “ 平方差数 ” ),已知 “ 平方差数 ” 按从小到大的顺序构成如下数列: 3 , 5 , 7 , 8 , 9 , 11 , 12 , 13 , 15 , 16 , 17 , 19 , 20 , 21 , 23 , 24 , 25 , …… ,则数字 2019 是第 ______ 个 “ 平方差数 ” ,第 2019 个 “ 平方差数 ” 是 ______ .
1515 2695
【分析】
根据题意观察探索规律,知全部智慧数从小到大可按每三个数分一组,从第 2 组开始每组的第一个数都是 4 的倍数.归纳可得规律,再分别计算结果.
【详解】
解:观察探索规律,知全部平方差数从小到大可按每三个数分一组,从第 2 组开始每组的第一个数都是 4 的倍数,
归纳可得第 n 组的第一个数为 4 n ,第二个数为 4 n +1 ,第三个数为 4 n +3 ,
∵2019=4×504+3 ,
∴2019 是第 504 组的第 3 个数,即第 1515 个平方差数;
因为 2019=3×673 ,
所以第 2019 个平方差数是第 673 组中的第 3 个数,
即为 4×673+3=2695 ,
故答案为: 1515 , 2695 .
【点睛】
本题考查了探索规律的问题,解题的关键是根据题意找出规律,从而得出答案,此题难度较大.
代数式的性质:
(1)单独一个数或一个字母也是代数式,如-3,a.
(2)代数式中只能有运算符号,不应含有等于号(=、≡)、不等号(≠、≤、≥、<、>、≮、≯)、约等号≈,也就是说,等式或不等式不是代数式,但代数式中可以含有括号。 可以有绝对值。例如:|x|,|-2.25| 等。
(3)代数式中的字母表示的数必须使这个代数式有意义,即在实际问题中,字母表示的数要符合实际问题。
代数式的分类:
在实数范围内,代数式分为有理式和无理式。
一、有理式
有理式包括整式(除数中没有字母的有理式)和分式(除数中有字母且除数不为0的有理式)。
这种代数式中对于字母只进行有限次加、减、乘、除和整数次乘方这些运算.
整式有包括单项式(数字或字母的乘积或单独的一个数字或字母)和多项式(若干个单项式的和).
1.单项式
没有加减运算的整式叫做单项式。
单项式的系数:单项式中的数字因数叫做单项式(或字母因数)的数字系数,简称系数
单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数
2.多项式
个单项式的代数和叫做多项式;多项式中每个单项式叫做多项式的项。不含字母的项叫做常数项。
多项式的次数:多项式里,次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数。
齐次多项式:各项次数相同的多项式叫做齐次多项式。
不可约多项式:次数大于零的有理系数的多项式,不能分解为两个次数大于零的有理数系数多项式的乘积时,称为有理数范围内不可约多项式。
实数范围内不可约多项式是一次或某些二次多项式,复数范同内不可约多项式是一次多项式。
对称多项式:在多元多项式中,如果任意两个元互相交换所得的结果都和原式相同,则称此多项式是关于这些元的对称多项式。
同类项:多项式中含有相同的字母,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。
二、无理式
含有字母的根式或字母的非整数次乘方的代数式叫做无理式。
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