（情景再现）

通过 “ 活动 思考 ” 一节的学习，小红知道了：把一张长方形纸片按下图要求折叠、裁剪、展开，可以得到由长方形裁剪出的一个最大正方形．

（操作探究）

聪明的小红在学习了这一个知识后给出了一个 “ 可裁长方形 ” 的定义：当相邻两边长分别为 的长方形通过上述方法裁剪掉一个最大的正方形后，再在剩下的部分裁剪出一个最大的正方形，如此反复，最后剩下的部分也是一个正方形，像这样一类长方形称为可裁长方形．并进行了以下探索：

当一个可裁长方形只经过一次裁剪就可以得到全部正方形，则 a 的值为 ；

当一个可裁长方形只经过两次裁剪就可以得到全部正方形，则所有符合条件的 的值为 ；

当一个可裁长方形只经过三次裁剪就可以得到全部正方形，画出所有符合条件可裁长方形，标注出裁剪线，并在对应的图形下方写出 的值．

（方法迁移）

取一个自然数，若它是奇数，则乘以 加上 ；若它是偶数，则除以 ，按此规则经过若干步的计算最终可得到 ．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数 ，最少经过下面 步运算可得 ．即：

自然数 最少经过 步运算可得到 ；

如果自然数 最少经过 步运算可得到 ，则所有符合条件的 的值为 ．

答案

【 操作探究 】 （ 1 ） 2 ；（ 2 ） 1.5 或 3 ；（ 3 ）见解析； 【 方法迁移 】 （ 1 ） 9 ；（ 2 ） 128 、 21 、 20 、 3

【分析】

操作探究（ 1 ）根据操作的方法可得 a=2 ；
（ 2 ）当一个可裁长方形只经过两次裁剪就可以得到全部正方形，则所有符合条件的 a 的值为 3 个 1 或 1 为 2 个（ a-1 ）；
（ 3 ）结合（ 1 ）、（ 2 ）题作出图形；
方法迁移（ 1 ）利用列举法，尝试最小的几个非 0 自然数，再结合 “ 自然数 5 ．最少经过 5 步运算可得 1” ，即可得出结论；
（ 2 ）首先根据题意，应用逆推法，用 1 乘以 2 ，得到 2 ；用 2 乘以 2 ，得到 4 ；用 4 乘以 2 ，得到 8 ；用 8 乘以 2 ，得到 16 ；然后分类讨论，判断出所有符合条件的 m 的值为多少即可．

【详解】

解：操作探究：
（ 1 ）当一个可裁长方形只经过一次裁剪就可以得到全部正方形，则 a 的值为 2 个 1 ，
故答案为： 2 ；
（ 2 ）当一个可裁长方形只经过两次裁剪就可以得到全部正方形，则所有符合条件的 a 的值为 3 个 1 或 1 为 2 个（ a-1 ），
故答案为： 1.5 或 3 ；
（ 3 ）当一个可裁长方形只经过三次裁剪就可以得到全部正方形，画出符合条件可裁长方形如图：

方法迁移：

（ 1 ）如图，

自然数 12 最少经过 9 步运算可得到 1 ，
故答案为： 9 ；
（ 2 ）根据分析，可得

则所有符合条件的 m 的值为： 128 、 21 、 20 、 3 ．
故答案为： 128 、 21 、 20 、 3 ．

【点睛】

此题主要考查了探寻数列规律问题，考查了逆推法的应用，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律．此题还考查了推理和论证问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： ① 演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊． ② 归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般．