如图,在数轴 A 、 B 上两点对应的数分别为 −40 、 20 ,数轴上一点 P 对应的数为 x .
( 1 )若点 P 在 A 、 B 两点之间,则点 P 到 A 、 B 两点的距离的和为
( 2 )如图,数轴上一点 Q 在点 P 的右侧,且与点 P 始终保持相距 18 个单位长度.当 x 取何值时,点 A 与点 P 的距离、点 B 与点 Q 的距离的和为 48 ?
( 3 )结合对前面问题的思考,若 ,求 的最大值和最小值.
( 1 ) 60 ;( 2 ) 或 5 ;( 3 )最大值为 2 ,最小值为 -14 .
【分析】
( 1 )用 B 点表示的数减去 A 点表示的数即可求解;
( 2 )根据题意 Q 点表示的数为 ,分为四种情况讨论: ① 在 点左边、 ② 都在 点中间、 ③ 在 中间, 在 点右边、 ④ 都在 点右边,列出方程求解即可;
( 3 )根据绝对值的意义和前两问的结果得到 , ,结合题意得到 ,根据数轴解该方程即可,然后分类讨论即可求解.
【详解】
( 1 )
∴ 距离为 60 个单位长度;
( 2 ) ① 若 在 点左边,则点 与点 的距离为 ,点 与点 的距离为 ,得 ,
② 若 都在 点中间,此时距离和为 ,不符合题意;
③ 若 在 中间, 在 点右边,则点 与点 的距离为 ,点 与点 的距离为 ,
,得 ,
④ 若 都在 点右边,此时仅点 与点 的距离 ,不符合题意;
综上所述,当 或 5 时,满足题意.
( 3 )由前面可知, , ,
∴ ,
∵ 已知 ,
∴ ,
∴ , ,
当 , 时, 有最大值: 2-0=2 ,
当 , 时, 有最小值: ,
综上所述, 的最大值为 2 ,最小值为 -14 .
【点睛】
本题考查了绝对值的意义,绝对值方程,一元一次方程,题目综合性较强,重点是分类讨论,不要漏掉某一种情况.
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