我国著名的数学家华罗庚曾说过: “ 数形结合百般好,隔裂分家万事非 ” .
( I )如图,请你用 “ 数形结合 ” 的思想.
( 1 )求 的值为 ;
( 2 )请你利用( 1 )的结论,求下列各式的值:
① = ;
② 计算:
( II )将若干个同样大小的小长方形纸片拼成如图形状的大长方形(小长方形纸片宽为 a ,长为 b ),请你仔细观察图形,解答下列问题:
( 1 ) a 和 b 之间的关系满足 .
( 2 )图中阴影部分的面积与大长方形面积的比值是 .
( 3 )请你仔细观察图中的一个阴影部分,根据面积的不同表示方法,请你写出( b-a ) 2 与( b+a ) 2 , ab 三个代数式之间的等量关系 ;
应用:根据探索中的等量关系,解决如下问题: x+y = 9 , xy = ,求 x ﹣ y 的值.
【 I 】( 1 ) ;( 2 ) ① ; ② ;【 II 】( 1 ) b = 3a ;( 2 ) ;( 3 ) .
【分析】
【 I 】( 1 )根据图形面积得出这些数的和;
( 2 ) ① 根据( 2 )中所求得出答案即可;
② 根据( 2 )中所求得出规律答案即可.
【 Ⅱ 】( 1 )由图中大长方形的长的不同拼图可得到 a 、 b 的关系;
( 2 )由图可得阴影部分为正方形,边长为 ,大长方形的长为 ,宽为 ,根据面积公式求解即可;
( 3 )观察图形面积与式子间的对应关系即可得到三个式子间关系,最后代入求值即可.
【详解】
【 I 】( 1 )根据图形面积得出这些数的和即为 1 与 的面积差,
故答案为: ;
( 2 )分析得:
故答案为: ;
( 3 )分析得:
故答案为:
【 Ⅱ 】( 1 )由大长方形的长的不同拼图可得, 4b = 3 a +3b ,即 b = 3 a ,
故答案为: b = 3 a ;
( 2 )由于 b = 3 a ,大长方形的长为 4b = 12 a ,宽为 3 a +b = 6 a ,因此面积为 12 a ×6 a = 72 a 2 ;
阴影部分的面积为 3 ( b ﹣ a ) 2 = 3 ( 2 a ) 2 = 12 a 2 ;
因此其比值为 ,
故答案为: ;
( 3 )如图,阴影正方形的边长为 ,因此面积为 ,
正方形 ABCD 的边长为 ,因此面积为 ,
四个小矩形的面积为 4 a b ,
因此有 ,
故答案为: ;
把: , 代入得, ,
∴ .
【点睛】
本题属于规律型问题,掌握图形的变化类规律和数字的变化类规律为解题关键.
代数式的性质:
(1)单独一个数或一个字母也是代数式,如-3,a.
(2)代数式中只能有运算符号,不应含有等于号(=、≡)、不等号(≠、≤、≥、<、>、≮、≯)、约等号≈,也就是说,等式或不等式不是代数式,但代数式中可以含有括号。 可以有绝对值。例如:|x|,|-2.25| 等。
(3)代数式中的字母表示的数必须使这个代数式有意义,即在实际问题中,字母表示的数要符合实际问题。
代数式的分类:
在实数范围内,代数式分为有理式和无理式。
一、有理式
有理式包括整式(除数中没有字母的有理式)和分式(除数中有字母且除数不为0的有理式)。
这种代数式中对于字母只进行有限次加、减、乘、除和整数次乘方这些运算.
整式有包括单项式(数字或字母的乘积或单独的一个数字或字母)和多项式(若干个单项式的和).
1.单项式
没有加减运算的整式叫做单项式。
单项式的系数:单项式中的数字因数叫做单项式(或字母因数)的数字系数,简称系数
单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数
2.多项式
个单项式的代数和叫做多项式;多项式中每个单项式叫做多项式的项。不含字母的项叫做常数项。
多项式的次数:多项式里,次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数。
齐次多项式:各项次数相同的多项式叫做齐次多项式。
不可约多项式:次数大于零的有理系数的多项式,不能分解为两个次数大于零的有理数系数多项式的乘积时,称为有理数范围内不可约多项式。
实数范围内不可约多项式是一次或某些二次多项式,复数范同内不可约多项式是一次多项式。
对称多项式:在多元多项式中,如果任意两个元互相交换所得的结果都和原式相同,则称此多项式是关于这些元的对称多项式。
同类项:多项式中含有相同的字母,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。
二、无理式
含有字母的根式或字母的非整数次乘方的代数式叫做无理式。
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