数学课上,老师设计了一个数学游戏:若两个多项式相减的结果等于第三个多项式,则称这三个多项式为 “ 友好多项式 ” .甲、乙、丙、丁四位同学各有一张多项式卡片,下面是甲、乙、丙、丁四位同学的对话:
请根据对话解答下列问题:
甲:我的多项式是 2x 2 -3x-2
乙:我的多项式是 3x 2 -x+1
丙:我的多项式是 x 2 +2x+3
丁:我和甲、乙两位同学的多项式是友好多项式
( 1 )判断甲、乙、丙三位同学的多项式是否为 “ 友好多项式 ” ,并说明理由.
( 2 )丁的多项式是什么?(请直接写出所有答案).
( 1 )是;见解析;( 2 )﹣ x 2 ﹣ 2 x ﹣ 3 或 x 2 +2 x +3 或 5 x 2 ﹣ 4 x ﹣ 1
【分析】
( 1 )根据定义计算两个多项式的差等于第三个多项式可作判断;
( 2 )分情况讨论: ① 丁的多项式=甲的多项式﹣乙的多项式或丁的多项式=乙的多项式﹣甲的多项式; ② 丁的多项式=甲的多项式 + 乙的多项式.
【详解】
解:( 1 ) ∵ ( 3 x 2 ﹣ x +1 )﹣( 2 x 2 ﹣ 3 x ﹣ 2 ),
= 3 x 2 ﹣ x +1 ﹣ 2 x 2 +3 x +2 ,
= x 2 +2 x +3 ,
∴ 甲、乙、丙三位同学的多项式是 “ 友好多项式 ” ;
( 2 ) ∵ 甲、乙、丁三位同学的多项式是 “ 友好多项式 ” ,
∴ 分两种情况:
① ( 2 x 2 ﹣ 3 x ﹣ 2 )﹣( 3 x 2 ﹣ x +1 )或( 3 x 2 ﹣ x +1 )﹣( 2 x 2 ﹣ 3 x ﹣ 2 ),
( 2 x 2 ﹣ 3 x ﹣ 2 )﹣( 3 x 2 ﹣ x +1 )
= 2 x 2 ﹣ 3 x ﹣ 2 ﹣ 3 x 2 + x ﹣ 1
=﹣ x 2 ﹣ 2 x ﹣ 3
( 3 x 2 ﹣ x +1 )﹣( 2 x 2 ﹣ 3 x ﹣ 2 )
= 3 x 2 ﹣ x +1 ﹣ 2 x 2 +3 x +2
= x 2 +2 x +3 ,
② ( 3 x 2 ﹣ x +1 ) + ( 2 x 2 ﹣ 3 x ﹣ 2 ),
= 5 x 2 ﹣ 4 x ﹣ 1 ;
∴ 丁的多项式是﹣ x 2 ﹣ 2 x ﹣ 3 或 x 2 +2 x +3 或 5 x 2 ﹣ 4 x ﹣ 1 .
【点睛】
本题考查了新定义 “ 友好多项式 ” ,熟练掌握整式的加减法则是本题的关键.
同类项性质:
(1)两个单项式是同类项的条件有两个:一是含有相同的字母;而是相同字母的指数分别相等;
(2)同类项与系数无关,与字母的排列顺序无关,只与字母及字母的指数有关;
(3)所有的常数项都是同类项。
例如:
1. 多项式3a-24ab-5a-7—a+152ab+29+a中3a与-5a是同类项
-24ab与152ab是同类项 【同类项与字母前的系数大小无关】
2. -7和29也是同类项【所有常数项都是同类项。】
3. -a和a也是同类项【-a的系数是-1 a的系数是1 】
4. 2ab和2ba也是同类项【同类项与系数和字母的顺序无关】
5.(3+k)与(3—k)是同类项。
合并同类项:
多项式中的同类项可以合并,叫做合并同类项。
合并同类项步骤:
(1)准确的找出同类项。
(2)逆用分配律,把同类项的系数加在一起(用小括号),字母和字母的指数不变。
(3)写出合并后的结果。
在掌握合并同类项时注意:
1.如果两个同类项的系数互为相反数,合并同类项后,结果为0.
2.不要漏掉不能合并的项。
3.只要不再有同类项,就是结果(可能是单项式,也可能是多项式)。
合并同类项的关键:正确判断同类项。
合并同类项的法则是:同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变。
合并同类项的理论依据:
其实,合并同类项法则是有其理论依据的。它所依据的就是乘法分配律,a(b+c)=ab+ac。合并同类项实际上就是乘法分配律的逆向运用。即将同类项中的每一项都看成两个因数的积,由于各项中都含有相同的字母并且它们的指数也分别相同,故同类项中的每项都含有相同的因数。合并时将分配律逆向运用,用相同的那个因数去乘以各项中另一个因数的代数和。
例1.合并同类项
-8ab+6ab-3ab
分析:同类项合并时,把同类项的系数加减,字母和各字母的指数都不改变。
解答:原式=(-8+6-3)ab=-5 ab。
例2.合并同类项
-xy+3-2xy+5xy-4xy-7
分析:在一个多项式中,往往含有几个不同的单项式,可运用加法交换律及合并同类项法则进行合并。注意不要把某些项漏合或漏写。
解答:原式=(-xy+5xy)+(-2xy-4xy)+(3-7)=-2xy-4
例3.合并同类项并解答:
2y-5y+y+4y-3y-2,其中y=1/2
=(2+1-3)y+(-5+4)y-2
=0+(-y)-2
当y=1/2时,原式=(-1/2)-2
=-5/2
在合并同类项时,要注意是常数项也是同类项。
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