图 1 由若干个小圆圈组成的一个形如正三角形的图案,第 1 层有 1 个圆圈,每一层都比上一层多 1 个圆圈,一共堆了 n 层.
( 1 )如图 1 所示,第 100 层有 个小圆圈,从第 1 层到第 n 层共有 个小圆圈;
( 2 )我们自上往下按图 2 的方式排列一串连续的正整数 1 , 2 , 3 , … ,则第 20 层的第 5 个数是 ;
( 3 )我们自上往下按图 3 的方式排列一串整数 31 ,﹣ 33 , 35 ,﹣ 37 , … ,则求从第 1 层到第 20 层的所有数的绝对值的和 .
( 1 ) 100 , ;( 2 ) 195 ;( 3 ) 50400 .
【分析】
( 1 )观察图 1 发现规律:第 n 层有 n 个小圆圈,从第 1 层到第 n 层共有圆圈的个数为 1+2+3+…+ n ,计算即可得圆圈的个数,进而可得结论;
( 2 )观察图 2 发现规律:从 1 开始的自然数列,第 n 层放 n 个,进而可得第 20 层第 5 个数;
( 3 )观察图 3 发现规律:第 n 层放 n 个,从第 1 个数开始,符号 “+ ﹣ ” 周期变化,绝对值依次加 2 ,可得第 20 层最后一个数的绝对值,最后得第 1 层到第 20 层所有数的绝对值和.
【详解】
解:( 1 )图 1 规律:第 n 层有 n 个小圆圈,则第 100 层有 100 个小圆圈,
因为 1+2+3+…+ n = .
所以从第 1 层到第 n 层共有 个小圆圈;
故答案为: 100 , ;
( 2 )图 2 规律:从 1 开始的自然数列,第 n 层放 n 个,则第 20 层第 5 个数为:
1+2+3+…+19+5 = 195 .
故答案为: 195 ;
( 3 )图 3 规律:第 n 层放 n 个,从第 1 个数开始,符号 “+ ﹣ ” 周期变化,绝对值依次加 2 ,
则第 20 层最后一个数的绝对值为:
31+ ( 2+3+4+…+20 ) ×2 = 449 ,
则第 1 层到第 20 层所有数的绝对值和为:
31+33+35+…+449 = 50400 .
故答案为: 50400 .
【点睛】
本题考查了根据图形的变化规律列式,计算等知识,理解图形的变化规律,并寻找其中规律是解题关键.
代数式的性质:
(1)单独一个数或一个字母也是代数式,如-3,a.
(2)代数式中只能有运算符号,不应含有等于号(=、≡)、不等号(≠、≤、≥、<、>、≮、≯)、约等号≈,也就是说,等式或不等式不是代数式,但代数式中可以含有括号。 可以有绝对值。例如:|x|,|-2.25| 等。
(3)代数式中的字母表示的数必须使这个代数式有意义,即在实际问题中,字母表示的数要符合实际问题。
代数式的分类:
在实数范围内,代数式分为有理式和无理式。
一、有理式
有理式包括整式(除数中没有字母的有理式)和分式(除数中有字母且除数不为0的有理式)。
这种代数式中对于字母只进行有限次加、减、乘、除和整数次乘方这些运算.
整式有包括单项式(数字或字母的乘积或单独的一个数字或字母)和多项式(若干个单项式的和).
1.单项式
没有加减运算的整式叫做单项式。
单项式的系数:单项式中的数字因数叫做单项式(或字母因数)的数字系数,简称系数
单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数
2.多项式
个单项式的代数和叫做多项式;多项式中每个单项式叫做多项式的项。不含字母的项叫做常数项。
多项式的次数:多项式里,次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数。
齐次多项式:各项次数相同的多项式叫做齐次多项式。
不可约多项式:次数大于零的有理系数的多项式,不能分解为两个次数大于零的有理数系数多项式的乘积时,称为有理数范围内不可约多项式。
实数范围内不可约多项式是一次或某些二次多项式,复数范同内不可约多项式是一次多项式。
对称多项式:在多元多项式中,如果任意两个元互相交换所得的结果都和原式相同,则称此多项式是关于这些元的对称多项式。
同类项:多项式中含有相同的字母,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。
二、无理式
含有字母的根式或字母的非整数次乘方的代数式叫做无理式。
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