观察下列三行数,回答问题:
-1 、 +3 、 -5 、 +7 、 -9 、 +11 、 ……
-3 、 +1 、 -7 、 +5 、 -11 、 +9 、 ……
+3 、 -9 、 +15 、 -21 、 +27 、 -33 、 ……
( 1 )第 ① 行第 9 个数是 ___________
第 ② 行第 9 个数是 ___________
第 ③ 行第 9 个数是 ___________
( 2 )在第 ② 行中,是否存在连续的三个数,使其和为 83 ?若存在,求这三个数;若不存在,说明理由.
( 3 )是否存在第 m 列数(每行取第 m 个数),这三个数的和正好为 -99 ?若存在,求 m ;若不存在,说明理由.
( 1 ) -17 ; -19 ; 51 .( 2 )存在, 85 , -91 , 89 ;( 3 )第 列数不存在,理由见解析.
【分析】
( 1 )观察到第 ① 行的规律是 ,第 ② 行的规律是将第 ① 行的数 -2 ,第 ③ 行的规律是 ,根据规律代入 n=9 即可求解;
( 2 )分为两种情况讨论:位于偶数位和奇数位,然后根据前后关系列出方程即可求解;
( 3 )根据题目中规律,第 ② 行为第 ① 行 -2 ,第 ③ 行为第 ① 行的 -3 倍,设出数值,列出一元一次方程,根据方程的解和第 ① 行的规律进行比较即可判断.
【详解】
( 1 )观察到第 ① 行的规律是 ,第 ② 行的规律是将第 ① 行的数 -2 ,第 ③ 行的规律是 ,
因此当 n=9 时,第 ① 行的数为 -17
∴ 第 ② 行的数为 -17-2=-19 ,第 ③ 行的数为 ;
( 2 )设第 ② 行存在连续的三个数和为 83 ,且第一个数为 ,
若 ,即 在第 ② 行中的偶数次列,满足第 列的数为 (其中 为正偶数),
则 ,
得 ,
即 ,符合题意, 在第 ② 行第 44 列,
此时,连续的三个数依次为 85 , -91 , 89 .
若 ,即 在第 ② 行中的奇数次列,满足第 列的数为 (其中 为正奇数),
则 ,
得 ,
即 , ,不符合题意,故舍去,
综上所述,存在这样连续的三个数使和为 83 ,依次为 85 , -91 , 89 .
( 3 )设存在第 列数使三个数的和为 -99 ,且此列第 ① 行的数为 ,
则第 列第 ② 行的数为 ,第 ③ 行的数为 ,
,
得 ,
又第 ① 行中奇数次列为负,偶数次列为正,
,即 97 在第 ① 行第 49 列,应为负,故假设不成立,
所以,这样的第 列数不存在.
【点睛】
本题考查了有理数的规律归纳,代数式表示规律,一元一次方程的应用,本题综合性较强,关键是总结出规律,然后进行计算.
代数式的性质:
(1)单独一个数或一个字母也是代数式,如-3,a.
(2)代数式中只能有运算符号,不应含有等于号(=、≡)、不等号(≠、≤、≥、<、>、≮、≯)、约等号≈,也就是说,等式或不等式不是代数式,但代数式中可以含有括号。 可以有绝对值。例如:|x|,|-2.25| 等。
(3)代数式中的字母表示的数必须使这个代数式有意义,即在实际问题中,字母表示的数要符合实际问题。
代数式的分类:
在实数范围内,代数式分为有理式和无理式。
一、有理式
有理式包括整式(除数中没有字母的有理式)和分式(除数中有字母且除数不为0的有理式)。
这种代数式中对于字母只进行有限次加、减、乘、除和整数次乘方这些运算.
整式有包括单项式(数字或字母的乘积或单独的一个数字或字母)和多项式(若干个单项式的和).
1.单项式
没有加减运算的整式叫做单项式。
单项式的系数:单项式中的数字因数叫做单项式(或字母因数)的数字系数,简称系数
单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数
2.多项式
个单项式的代数和叫做多项式;多项式中每个单项式叫做多项式的项。不含字母的项叫做常数项。
多项式的次数:多项式里,次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数。
齐次多项式:各项次数相同的多项式叫做齐次多项式。
不可约多项式:次数大于零的有理系数的多项式,不能分解为两个次数大于零的有理数系数多项式的乘积时,称为有理数范围内不可约多项式。
实数范围内不可约多项式是一次或某些二次多项式,复数范同内不可约多项式是一次多项式。
对称多项式:在多元多项式中,如果任意两个元互相交换所得的结果都和原式相同,则称此多项式是关于这些元的对称多项式。
同类项:多项式中含有相同的字母,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。
二、无理式
含有字母的根式或字母的非整数次乘方的代数式叫做无理式。
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