我们把数轴上表示数 的点称为离心点，记作点 ，对于两个不同的点 M 和 N ，若点 M 、 N 到离心点 的距离相等，则称点 M 、 N 互为离心变换点．例如：图 1 中，因为表示数 的点 M 和表示数 1 的点 N ，它们与离心点 的距离都是 2 个单位长度，所以点 M 、 N 互为离心变换点．

（ 1 ）已知点 A 表示数 a ，点 B 表示数 b ，且点 A 、 B 互为离心变换点．

① 若 ，则 ；若 ，则 a= ．

② 用含 a 的式子表示 b ，则 b= ．

③ 若把点 A 表示的数乘以 3 ，再把所得数表示的点沿着数轴向左移动 3 个单位长度恰好到点 B ，则点 A 表示的数的相反数是什么？

（ 2 ）若数轴上的点 P 表示数 m ， Q 表示数 m+6 ．对 P 点做如下操作：点 P 沿数轴向右移动 k （ k ＞ 0 ）个单位长度得到 P ₁ ， P ₂ 为 P ₁ 的离心变换点，点 P ₂ 沿数轴向右移动 k 个单位长度得到 P ₃ ， P ₄ 为 P ₃ 的离心变换点 … ，依此顺序不断地重复，得到 P ₅ ， P ₆ ， … ， P _n ．

① 已知 P ₂₀₁₉ 表示的数是 ，求 的值；

② 对 Q 点做如下操作： Q ₁ 为 Q 的离心变换点，将数轴沿原点对折后 Q ₁ 的落点为 Q ₂ ， Q ₃ 为 Q ₂ 的离心变换点，将数轴沿原点对折后 Q ₃ 的落点为 Q ₄ ， … ，依此顺序不断地重复，得到 Q ₅ ， Q ₆ ， … ， Q _n ，若无论 k 为何值， P _n 与 Q _n 两点间的距离都是 26 ，求 n 的值．

答案

（ 1 ） ①2 ； 2 π ； ② 2 a ； ③ ；（ 2 ） ① ； ②20 ．

【分析】

（ 1 ） ① 根据互为离心变换点的定义可得出 a+b= 2 ，代入数据即可得出结论；

② 根据 a+b= 2 ，变换后即可得出结论；

③ 设点 A 表示的数为 x ，根据点 A 的运动找出点 B ，结合互为离心变换点的定义即可得出关于 x 的一元一次方程，解之即可得出结论；
（ 2 ）根据点 P _n 与点 Q _n 的变化找出变化规律 “P _4n =m 、 Q _4n =m+6+4n” ，再根据两点间的距离公式即可得出关于 n 的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．

【详解】

解：（ 1 ） ①∵ 点 A 表示数 a ，点 B 表示数 b ，点 A 与点 B 互为离心变换点，
∵a+b= 2 ．
当 a= 4 时， b=2 ；
当 b=π 时， a= 2 π ．
故答案为： 2 ； 2 π ．
②∵a+b= 2 ，
∴b= 2 a ．
故答案为： 2 a ．
③ 设点 A 表示的数为 x ，
根据题意得： 3x 3+x= 2 ，
解得： x= ．

∴ 点 A 表示的数的相反数是 ；
故答案为： ．

（ 2 ） ① 由题意可知： P ₁ 表示的数为 m+k ， P ₂ 表示的数为 2 （ m+k ）， P ₃ 表示的数为 2 m ， P ₄ 表示的数为 m ， P ₅ 表示的数为 m+k ， … ，
可知 P 点的运动每 4 次一个循环，
∵2019=504×4+3 ， 2020=505×4 ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ；

② 设点 P 表示的数为 m ，则点 Q 表示的数为 m+6 ，
由题意可知： P ₁ 表示的数为 m+k ， P ₂ 表示的数为 2 （ m+k ）， P ₃ 表示的数为 2 m ， P ₄ 表示的数为 m ， P ₅ 表示的数为 m+k ， … ，
Q ₁ 表示的数为 2 m 6 ， Q ₂ 表示的数为 2+m+6 ， Q ₃ 表示的数为 4 m 6 ， Q ₄ 表示的数为 4+m+6 ， Q ₅ 表示的数为 6 m 6 ， Q ₆ 表示的数为 6+m+6 ， … ，
∴P _4n =m ， Q _4n =m+6+4n ．
令 |m （ m+6+4n ） |=26 ，

即 |6+4n|=26 ，
解得： 4n=20 或 4n= 32 （舍弃）．
∴n 的值为 20 ．

【点睛】

本题考查了规律型中图形的变化类、数轴以及解一元一次方程，根据互为基准变换点的定义找出 a+b=2 是解题的关键．