阅读材料：小兰在学习数轴时发现：若点 M 、 N 表示的数分别为 、 3 ，则线段 的长度可以这样计算

或 ，那么当点 M 、 N 表示的数分别为 m 、 n 时，线段 的长度可以表示为 或 ．

请你参考小兰的发现，解决下面的问题．

在数轴上，点 A 、 B 、 C 分别表示数 a 、 b 、 c

给出如下定义：若 ，则称点 B 为点 A 、 C 的双倍绝对点．

（ 1 ）如图 1 ，

① 若 ，点 D 、 E 、 F 在数轴上分别表示数 、 5 、 7 ，在这三个点中，点 _______ 是点 A 、 C 的双倍绝对点；

② 若 ，则 ________ ；

（ 2 ）若 ， ，则 c 的最小值为 ________ ；

（ 3 ）线段 在数轴上，点 P 、 Q 分别表示数 、 ， ， ，线段 与点 A 、 C 同时沿数轴正方向移动，点 A 、 C 的速度是每秒 1 个单位长度，线段 的速度是每秒 3 个单位长度．设移动的时间为 ，当线段 上存在点 A 、 C 的双倍绝对点时，求 t 的取值范围．

答案

（ 1 ） ①E ； ② 或 3 ；（ 2 ） ；（ 3 ）

【分析】

（ 1 ） ① 根据双倍绝对点的定义得 ，求出 b 的值即可；

② 根据题意， ，求出 b 的值即可；

（ 2 ）分情况讨论 或 ，根据 求出 b 的值，再求出 c 的值，找到最小值；

（ 3 ）分情况讨论，当 PQ 在 AC 左端或右端时，求出临界状态下 t 的值，即可得到范围．

【详解】

解：（ 1 ） ①∵ ， ，

∴ ，解得 或 ，

∴ 点 E 是点 A 、 C 的双倍绝对点，

故答案是： E ；

②∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，解得 或 3 ；

（ 2 ） ∵ ，

∴ ，或 ，

∵ ，

∴ ，

① 当 时， ，解得 或 ，

则 或 ；

② 当 时， ，解得 或 ，

则 或 ，

综上： c 的最小值为 ；

（ 3 ） ① 当 PQ 在 AC 左端时，

Q 最有可能先成为 A 、 C 的双倍绝对点，

， ，

∴ ，解得 或 （舍去），

∴ ；

② 当 PQ 在 AC 右端时，

P 最有可能先成为 A 、 C 的双倍绝对点，

，

∴ ，解得 或 （舍去），

∴ ，

综上： ．

【点睛】

本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是理解题目中定义的双倍绝对点，利用数轴上两点间距离的计算方法列绝对值方程进行求解．