如果在一个多位自然数 中，各数位上的数字之和恰好等于 10 ，则称这个数 “ 十全十美数 ” ，并将它各数位上的数字之积记为 ．例如在数 1234 中，因为 ，所以数 1234 是 “ 十全十美数 ” ，且 ．

（ 1 ）若在一个自然数中的任意两个相邻数位上，左边数位上的数字大于或等于右边数位上的数学，则称这个自然数 “ 降序数 ” 例如：在数 32210 中，因为 ，所以数 32210 是 “ 降序数 ” ，已知四位自然数 既是 “ 十全十美数 ” 又是 “ 降序数 ” ，它的千位上的数字是 5 ， ．将数 千位上的数字减 1 ，个位上的数字加 1 ，得到数 ， . 求出数 ；

（ 2 ） “ 十全十美数 ” 是三位自然数，将数 百位上的数字与个位上的数字交换得到数 ，若 ，求 的最大值．

答案

（ 1 ） 5320 ；（ 2 ） 32

【分析】

（ 1 ）设四位数 a 的百位上数字是 m ，十位上数字为 n ，由已知得 m+n=5 ，再由 F （ b ） =24 ，可求得 mn=6 ，求出 m 、 n 即可；

（ 2 ）设 p 的百位数是 x ，十位数是 y ，个位数是 z ，则 p=100x+10y+z ， q+100z+10y+x ，可求出 x=2 ， y+z=8 ，即可确定相应的 p 的所有可能性，再求 F （ p ）的最大值即可

【详解】

解：（ 1 ）设四位数 a 的百位上数字是 m ，十位上数字为 n ，

∵F （ a ） =0 ，

∴ 个位数字是 0 ，

∴m+n=5 ，

∵ 数 千位上的数字减 1 ，个位上的数字加 1 ，得到数 ，

∴b 的千位上数字是 4 ，个位数字是 1 ，

∵

∴mn=6

又 ∵m≥n

∴m=3 ， n=2 ，

∴a 是 5320

即答案为 5320

（ 2 ）设 p 的百位数是 x ，十位数是 y ，个位数是 z ，

则 p=100x+10y+z ， q+100z+10y+x ，

∴10p+q=1001x+110y+110z

又 ∵x+y+z=10

∴1001x+110y+110z=1001x+110 （ 10-x ） =2882

∴x=2 ， y+z=8

∴p 可以为 208 ， 217 ， 226 ， 235 ， 244 ， 253 ， 262 ， 271 ， 280

F （ 244 ） =32

∴F （ p ）的最大值为 32

【点睛】

本题主要要理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求解是解题的关键．