相传,大禹治水时, “ 洛水 ” 中出现了一个神龟,其背上有美妙的图案,史称 “ 洛书 ” ,用现在的数字翻译出来,就是三阶幻方.三阶幻方是最简单的幻方,又叫九宫格,其对角线、横行、纵向的数字之和均相等,这个和叫做幻和,正中间那个数叫中心数,且幻和恰好等于中心数的 3 倍.如图 1 ,是由 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 、 9 所组成的一个三阶幻方,其幻和为 15 ,中心数为 5
( 1 )如图 2 所示,则幻和= ;
( 2 )如图 2 所示,在( 1 )的条件下,若 a = 3 , c = 9 ,求 b 的值;
( 3 )如图 3 所示:
① 若 A = 2a , B = 7a + 5 , C = 6a ﹣ 2 , E = 5a + 1 ,求整式 D ;
② 若 A = a + 1 , B = 3a ﹣ 2 , D =﹣ 2ka ﹣ 1 ,是否存在 k 的值使得三阶幻方中九个整式的和为定值,若存在,求出 k 的值及定值,若不存在,说明理由.
( 1 ) 24 ;( 2 ) 4 ;( 3 ) ①9a ﹣ 1 ; ② 存在 k 的值使得三阶幻方中九个整式的和为定值,其中 k = 2.5 ,定值为 .
【分析】
( 1 )根据题意,可知图 2 中幻和为 8×3 ,然后计算即可;
( 2 )根据题意和图 2 中的数据,可以计算出左上角和右上角的数字,然后即可计算出 b 的值;
( 3 ) ① 根据题意和 A = 2a , B = 7a + 5 , C = 6a ﹣ 2 , E = 5a + 1 ,可以用 a 的代数式表示出整式 D ;
② 根据题意和幻方的定义,可以求得 k 的值及定值,本题得以解决.
【详解】
解:( 1 )由题意可得,
幻和= 8×3 = 24 ,
故答案为: 24 ;
( 2 )由( 1 )知幻和为 24 ,
∵a = 3 , c = 9 ,
∴ 左上角的数字为: 24 ﹣ c ﹣ 8 = 24 ﹣ 9 ﹣ 8 = 7 ,
右上角的数字为: 24 ﹣ a ﹣ 8 = 24 ﹣ 3 ﹣ 8 = 13 ,
∴7 + 13 + b = 24 ,
∴b = 4 ;
( 3 ) ①∵A = 2a , B = 7a + 5 , C = 6a ﹣ 2 ,
∴ 幻和为: 2a + 7a + 5 + 6a ﹣ 2 = 15a + 3 ,
∵C = 6a ﹣ 2 , E = 5a + 1 ,
∴G = 15a + 3 ﹣( 6a ﹣ 2 )﹣( 5a + 1 )= 4a + 4 ,
∵A = 2a , A + G + D = 15a + 3 ,
∴D =( 15a + 3 )﹣ A ﹣ G =( 15a + 3 )﹣ 2a ﹣( 4a + 4 )= 9a ﹣ 1 ;
② 设 E = x ,则幻和为 3x ,
∵A = a + 1 , B = 3a ﹣ 2 ,
∴C = 3x ﹣( a + 1 )﹣( 3a ﹣ 2 )= 3x ﹣ 4a + 1 ,
∵C + E + G = 3x ,
∴G = 3x ﹣ C ﹣ E = 3x ﹣( 3x ﹣ 4a + 1 )﹣ x =﹣ x + 4a ﹣ 1 ,
∵A + D + G = 3x ,
∴D = 3x ﹣ A ﹣ G = 3x ﹣( a + 1 )﹣(﹣ x + 4a ﹣ 1 )= 4x ﹣ 5a ,
∵D =﹣ 2ka ﹣ 1 ,
∴ ﹣ 2ka ﹣ 1 = 4x ﹣ 5a ,
∴ ﹣ 2k =﹣ 5 ,﹣ 1 = 4x ,
∴k = 2.5 , x =﹣ ,
∴ 当 k = 2.5 时,九个整式的和为 9x =﹣ ,
即存在 k 的值使得三阶幻方中九个整式的和为定值,其中 k = 2.5 ,定值为﹣ .
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用、幻方、整式,解答本题的关键是明确题意,利用整式的知识和方程的知识解答.
同类项性质:
(1)两个单项式是同类项的条件有两个:一是含有相同的字母;而是相同字母的指数分别相等;
(2)同类项与系数无关,与字母的排列顺序无关,只与字母及字母的指数有关;
(3)所有的常数项都是同类项。
例如:
1. 多项式3a-24ab-5a-7—a+152ab+29+a中3a与-5a是同类项
-24ab与152ab是同类项 【同类项与字母前的系数大小无关】
2. -7和29也是同类项【所有常数项都是同类项。】
3. -a和a也是同类项【-a的系数是-1 a的系数是1 】
4. 2ab和2ba也是同类项【同类项与系数和字母的顺序无关】
5.(3+k)与(3—k)是同类项。
合并同类项:
多项式中的同类项可以合并,叫做合并同类项。
合并同类项步骤:
(1)准确的找出同类项。
(2)逆用分配律,把同类项的系数加在一起(用小括号),字母和字母的指数不变。
(3)写出合并后的结果。
在掌握合并同类项时注意:
1.如果两个同类项的系数互为相反数,合并同类项后,结果为0.
2.不要漏掉不能合并的项。
3.只要不再有同类项,就是结果(可能是单项式,也可能是多项式)。
合并同类项的关键:正确判断同类项。
合并同类项的法则是:同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变。
合并同类项的理论依据:
其实,合并同类项法则是有其理论依据的。它所依据的就是乘法分配律,a(b+c)=ab+ac。合并同类项实际上就是乘法分配律的逆向运用。即将同类项中的每一项都看成两个因数的积,由于各项中都含有相同的字母并且它们的指数也分别相同,故同类项中的每项都含有相同的因数。合并时将分配律逆向运用,用相同的那个因数去乘以各项中另一个因数的代数和。
例1.合并同类项
-8ab+6ab-3ab
分析:同类项合并时,把同类项的系数加减,字母和各字母的指数都不改变。
解答:原式=(-8+6-3)ab=-5 ab。
例2.合并同类项
-xy+3-2xy+5xy-4xy-7
分析:在一个多项式中,往往含有几个不同的单项式,可运用加法交换律及合并同类项法则进行合并。注意不要把某些项漏合或漏写。
解答:原式=(-xy+5xy)+(-2xy-4xy)+(3-7)=-2xy-4
例3.合并同类项并解答:
2y-5y+y+4y-3y-2,其中y=1/2
=(2+1-3)y+(-5+4)y-2
=0+(-y)-2
当y=1/2时,原式=(-1/2)-2
=-5/2
在合并同类项时,要注意是常数项也是同类项。
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