如图，已知数轴上两点 A ， B 表示的数分别为﹣ 2 ， 6 ，用符号 “ AB ” 来表示点 A 和点 B 之间的距离．

（ 1 ）求 AB 的值；

（ 2 ）若在数轴上存在一点 C ，使 AC ＝ 3 BC ，求点 C 表示的数；

（ 3 ）在（ 2 ）的条件下，点 C 位于 A 、 B 两点之间．点 A 以 1 个单位 / 秒的速度沿着数轴的正方向运动， 2 秒后点 C 以 2 个单位 / 秒的速度也沿着数轴的正方向运动，到达 B 点处立刻返回沿着数轴的负方向运动，直到点 A 到达点 B ，两个点同时停止运动．设点 A 运动的时间为 t ，在此过程中存在 t 使得 AC ＝ 3 BC 仍成立，求 t 的值．

答案

（ 1 ） 8 ；（ 2 ） 4 或 10 ；（ 3 ） t 的值为 和

【分析】

（ 1 ）由数轴上点 B 在点 A 的右侧，故用点 B 的坐标减去点 A 的坐标即可得到 AB 的值；

（ 2 ）设点 C 表示的数为 x ，再根据 AC=3BC ，列绝对值方程并求解即可；

（ 3 ）点 C 位于 A ， B 两点之间，分两种情况来讨论：点 C 到达 B 之前，即 2<t<3 时；点 C 到达 B 之后，即 t>3 时，然后列方程并解方程再结合进行取舍即可 .

【详解】

解：（ 1 ） ∵ 数轴上两点 A ， B 表示的数分别为﹣ 2 ， 6

∴ AB ＝ 6 ﹣（﹣ 2 ）＝ 8

答： AB 的值为 8 ．

（ 2 ）设点 C 表示的数为 x ，由题意得

| x ﹣（﹣ 2 ） | ＝ 3| x ﹣ 6|

∴| x +2| ＝ 3| x ﹣ 6|

∴ x +2 ＝ 3 x ﹣ 18 或 x +2 ＝ 18 ﹣ 3 x

∴ x ＝ 10 或 x ＝ 4

答：点 C 表示的数为 4 或 10 ．

（ 3 ） ∵ 点 C 位于 A ， B 两点之间，

∴ 点 C 表示的数为 4 ，点 A 运动 t 秒后所表示的数为﹣ 2+ t ，

① 点 C 到达 B 之前，即 2 ＜ t ＜ 3 时，点 C 表示的数为 4+2 （ t ﹣ 2 ）＝ 2 t

∴ AC ＝ t +2 ， BC ＝ 6 ﹣ 2 t

∴ t +2 ＝ 3 （ 2 t ﹣ 6 ）

解得 t ＝

② 点 C 到达 B 之后，即 t ＞ 3 时，点 C 表示的数为 6 ﹣ 2 （ t ﹣ 3 ）＝ 12 ﹣ 2 t

∴ AC ＝ | ﹣ 2+ t ﹣（ 12 ﹣ 2 t ） | ＝ |3 t ﹣ 14| ， BC ＝ 6 ﹣（ 12 ﹣ 2 t ）＝ 2 t ﹣ 6

∴|3 t ﹣ 14| ＝ 3 （ 2 t ﹣ 6 ）

解得 t ＝ 或 t ＝ ，其中 ＜ 3 不符合题意舍去

答： t 的值为 和

【点睛】

本题考查了数轴上的动点问题，列一元一次方程和绝对值方程进行求解，是解答本题的关键 .