如图，射线 上有三点 ，满足 cm ， cm ， cm. 点 从点 出发，沿 方向以 2cm/ 秒的速度匀速运动，点 从点 出发在线段 上向点 匀速运动，两点同时出发，当点 运动到点 时，点 停止运动 .

(1) 若点 运动速度为 3cm/ 秒，经过多长时间 两点相遇 ?

(2) 当 时，点 运动到的位置恰好是线段 的中点，求点 的运动速度 ;

(3) 自点 运动到线段 上时，分别取 和 的中点 ，求 的值 .

答案

（ 1 ） 18 秒相遇； (2)Q 的运动速度为 11cm/s 或者 cm/s ； (3)2.

【分析】

（ 1 ）设运动时间为 t 秒，先求出 OC=90 ，根据速度乘以时间得到 OP=2t ， CQ=3t ，再根据相遇公式路程和等于距离列方程解答即可；

（ 2 ）先求出线段 OB 的长度得到中点 Q 所表示的数，再根据 只存在两种情况，求出点 P 的运动时间即点 Q 的运动时间即可得到速度；

（ 3 ）分别求出 OB 、 AP 及 EF 的长，即可代入计算得到答案 .

【详解】

（ 1 ）设运动时间为 t 秒，此时 OP=2t ， OQ=3t ，

∵ cm ， cm ， cm ，

∴OC=OA+AB+BC=90cm ，

∴2t+3t=90 ，

t=18 ，

∴ 经过 18 秒 两点相遇；

（ 2 ） ∵ 点 运动到的位置恰好是线段 的中点， OB=40+30=70 ，

∴ 点 Q 表示的数是 35 ，此时 CQ=90-35=55 ，

由 ，可分两种情况：

① 当点 P 在 OA 上时，得 PA=AB=30 ，此时 OP=OA-PA=10 ，

点 P 运动的时间为 s ，

∴ 点 Q 的运动速度 = cm/s ；

② 当点 P 在 AB 上时， AB=3PA ， ∴PA=10 ，此时 OP=OA+PA=50 ，

点 P 的运动时间是 s ，

∴ 点 Q 的运动速度 = cm/s ，

综上，点 的运动速度是 11cm/s 或者 cm/s ；

（ 3 ）设运动时间是 a 秒，此时 OP=2a ， AP=2a-40 ，

∵ 点 E 是 OP 的中点，

∴OE=a ，

∵ 点 F 是 AB 的中点， AB=30 ，

∴BF=15 ，

∴EF=OB-OE-BF=70-a-15=55-a ，

∴ = .

【点睛】

此题考查数轴上的点的运动问题，数轴上两点之间的距离公式，两点的中点公式，在点运动过程中注意分情况解决问题的方法 .