如图,矩形 ABCD 中, AB = 3 , BC = 4 ,点 E 是 A 边上一点,且 AE = ,点 F 是边 BC 上的任意一点,把 △ BEF 沿 EF 翻折,点 B 的对应点为 G ,连接 AG , CG ,则四边形 AGCD 的面积的最小值为 _____ .
【分析】
根据矩形 ABCD 中, AB = 3 , BC = 4 ,可得 AC = 5 ,由 AE = 可得点 F 是边 BC 上的任意位置时,点 C 始终在 AC 的下方,设点 G 到 AC 的距离为 h ,要使四边形 AGCD 的面积的最小,即 h 最小.所以点 G 在以点 E 为圆心, BE 为半径的圆上,且在矩形 ABCD 的内部.过点 E 作 EH ⊥ AC ,交圆 E 于点 G ,此时 h 最小.根据锐角三角函数先求得 h 的值,再分别求得三角形 ACD 和三角形 ACG 的面积即可得结论.
【详解】
解:如图,连接 AC ,
在矩形 ABCD 中, AB = 3 , BC = 4 ,
∠ B = ∠ D = 90° ,
∴ AC = 5 ,
∵ AB = 3 , AE = ,
∴点 F 是边 BC 上的任意位置时,点 G 始终在 AC 的下方,
设点 G 到 AC 的距离为 h ,
S 四边形 AGCD = S △ ACD +S △ ACG
= 3×4+ ×5h ,
= 6+ h .
要使四边形 AGCD 的面积的最小,即 h 最小.
∵点 G 在以点 E 为圆心, BE 为半径的圆上,且在矩形 ABCD 的内部.
过点 E 作 EH ⊥ AC ,交圆 E 于点 G ,此时 h 最小.
在 Rt △ ABC 中, sin ∠ BAC = ,
在 Rt △ AEH 中, AE = ,
sin ∠ BAC = ,
解得 EH = AE = ,
EG = BE = AB ﹣ AE = 3 ﹣ ,
∴ h = EH ﹣ EG = ﹣( 3 ﹣ )= ﹣ 3 .
∴ S 四边形 AGCD = 6+ × ( ﹣ 3 )
= .
故答案为: .
【点睛】
本题考查了翻折变换,解决本题的关键是确定满足条件的点 G 的位置,运用相似、锐角三角函数等知识解决问题.
直线、射线、线段的基本性质:
图形 | 表示法 | 端点 | 延长线 | 能否度量 | 基本性质 | |
直线 | 没有端点的一条线 | 一条线, 不要端点 |
无 | 可以向两边无限延长 | 否 | 两端都没有端点,可以无限延长,不可测量的线 |
射线 | 只有一个端点的一条线 | 一条线, 只有一边有端点 |
一个 | 可以向一边无限延长 | 否 | 一端有端点,可以向一边无限延长,不可测量的线 |
线段 | 两边都有端点的一条线 | 一条线,两边都有端点 | 两个 | 不能延长 | 能 | 两端都有端点,不能延长,可测量的线 |
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