如图,在 △ ABC 中, AB = AC = 5 , BC = 6 , AD 是 ∠ BAC 的平分线, AD = 4 .若 P , Q 分别是 AD 和 AC 上的动点,则 PC+PQ 的最小值是 _____ .
【分析】
由等腰三角形的三线合一可得出 AD 垂直平分 BC ,过点 B 作 BQ ⊥ AC 于点 Q , BQ 交 AD 于点 P ,则此时 PC+PQ 取最小值,最小值为 BQ 的长,在 △ ABC 中,利用面积法可求出 BQ 的长度,此题得解.
【详解】
∵ AB = AC , AD 是 ∠ BAC 的平分线,
∴ AD 垂直平分 BC ,
∴ BP = CP .
如图,过点 B 作 BQ ⊥ AC 于点 Q , BQ 交 AD 于点 P ,则此时 PC+PQ 取最小值,最小值为 BQ 的长,
∵ S △ ABC = BC•AD = AC•BQ ,
∴ BQ = = ,
即 PC+PQ 的最小值是 .
故答案为 .
【点睛】
本题考查了轴对称﹣最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积,凡是涉及最短距离的问题,一般要考虑线段的性质定理,结合轴对称变换来解决,多数情况要作点关于某直线的对称点.
直线、射线、线段的基本性质:
图形 | 表示法 | 端点 | 延长线 | 能否度量 | 基本性质 | |
直线 | 没有端点的一条线 | 一条线, 不要端点 |
无 | 可以向两边无限延长 | 否 | 两端都没有端点,可以无限延长,不可测量的线 |
射线 | 只有一个端点的一条线 | 一条线, 只有一边有端点 |
一个 | 可以向一边无限延长 | 否 | 一端有端点,可以向一边无限延长,不可测量的线 |
线段 | 两边都有端点的一条线 | 一条线,两边都有端点 | 两个 | 不能延长 | 能 | 两端都有端点,不能延长,可测量的线 |
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