如图，在 Rt △ ABC 中， ∠ C=90°， ∠ A=30°，AB=8 ，点 P 从点 A 出发，沿折线 AB﹣BC 向终点 C 运动，在 AB 上以每秒 8 个单位长度的速度运动，在 BC 上以每秒 2 个单位长度的速度运动，点 Q 从点 C 出发，沿 CA 方向以每秒 个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点 P 停止时，点 Q 也随之停止．设点 P 运动的时间为 t 秒．

（ 1 ）求线段 AQ 的长；（用含 t 的代数式表示）

（ 2 ）当点 P 在 AB 边上运动时，求 PQ 与 △ ABC 的一边垂直时 t 的值；

（ 3 ）设 △ APQ 的面积为 S ，求 S 与 t 的函数关系式；

（ 4 ）当 △ APQ 是以 PQ 为腰的等腰三角形时，直接写出 t 的值．

答案

（ 1）4 ﹣ t；（2 ）当点 P 在 AB 边上运动时， PQ 与 △ ABC 的一边垂直时 t 的值是 t=0 或 或 ；（ 3）S 与 t 的函数关系式为： S= ；（ 4）t 的值为 或 ．

【解析】

分析 ： （ 1）根据勾股定理求出AC的长，然后由AQ=AC-CQ求解即可；

（ 2） 当点 P 在 AB 边上运动时， PQ 与 △ ABC 的一边垂直，有三种情况：当 Q 在 C 处， P 在 A 处时， PQ⊥BC； 当 PQ⊥AB 时 ； 当 PQ⊥AC 时 ； 分别求解即可 ；

（ 3） 当 P 在 AB 边上时，即 0≤t≤1 ，作 PG⊥AC 于 G ，或当 P 在边 BC 上时，即 1＜t≤3， 分别根据三角形的面积求函数的解析式即可 ；

（ 4） 当 △APQ是以PQ为腰的等腰三角形时，有两种情况：①当P在边AB上时，作PG⊥AC于G，则AG=GQ ， 列方程求解 ； ②当P在边AC上时， AQ=PQ，根据勾股定理求解 .

详解： （ 1 ）如图 1，

Rt△ABC 中， ∠ A=30°，AB=8，

∴BC= AB=4，

∴AC= ，

由题意得： CQ= t，

∴AQ=4 ﹣ t；

（ 2 ）当点 P 在 AB 边上运动时， PQ 与 △ ABC 的一边垂直，有三种情况：

①当 Q 在 C 处， P 在 A 处时， PQ⊥BC ，此时 t=0；

②当 PQ⊥AB 时，如图 2，

∵AQ=4 ﹣ t，AP=8t，∠A=30°，

∴cos30°= ，

∴ ，

t= ；

③当 PQ⊥AC 时，如图 3，

∵AQ=4 ﹣ t，AP=8t，∠A=30°，

∴cos30°= ，

∴

t= ；

综上所述，当点 P 在 AB 边上运动时， PQ 与 △ ABC 的一边垂直时 t 的值是 t=0 或 或 ；

（ 3 ）分两种情况：

①当 P 在 AB 边上时，即 0≤t≤1 ，如图 4 ，作 PG⊥AC 于 G，

∵∠A=30°，AP=8t，∠AGP=90°，

∴PG=4t，

∴S _△APQ = AQ•PG= （ 4 ﹣ t）•4t=﹣2 t ² +8 t；

②当 P 在边 BC 上时，即 1＜t≤3 ，如图 5，

由题意得： PB=2（t﹣1），

∴PC=4﹣2（t﹣1）=﹣2t+6，

∴S _△APQ = AQ•PC= （ 4 ﹣ t）（﹣2t+6）= t ² ；

综上所述， S 与 t 的函数关系式为： S= ；

（ 4 ）当 △ APQ 是以 PQ 为腰的等腰三角形时，有两种情况：

①当 P 在边 AB 上时，如图 6，

AP=PQ ，作 PG⊥AC 于 G ，则 AG=GQ，

∵∠A=30°，AP=8t，∠AGP=90°，

∴PG=4t，

∴AG=4 t，

由 AQ=2AG 得： 4 ﹣ t=8 t，t= ，

②当 P 在边 AC 上时，如图 7，AQ=PQ，

Rt△PCQ 中，由勾股定理得： CQ ² +CP ² =PQ ² ，

∴ ，

t= 或﹣ （舍），

综上所述， t 的值为 或 ．

点睛：此题主要考查了三角形中的动点问题，用到勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，二次函数等知识，是一道比较困难的综合题，关键是合理添加辅助线，构造合适的方程求解 .