如图,数轴上点 , 表示的有理数分别为 , 3 ,点 是射线 上的一个动点(不与点 , 重合), 是线段 靠近点 的三等分点, 是线段 靠近点 的三等分点.
( 1 )若点 表示的有理数是 0 ,那么 的长为 ________ ;若点 表示的有理数是 6 ,那么 的长为 ________ ;
( 2 )点 在射线 上运动(不与点 , 重合)的过程中, 的长是否发生改变?若不改变,请写出求 的长的过程;若改变,请说明理由.
( 1 ) 6 ; 6 ;( 2 )不发生改变, MN 为定值 6 ,过程见解析
【分析】
( 1 )由点 P 表示的有理数可得出 AP 、 BP 的长度,根据三等分点的定义可得出 MP 、 NP 的长度,再由 MN=MP+NP (或 MN=MP-NP ),即可求出 MN 的长度;
( 2 )分 -6 < a < 3 及 a > 3 两种情况考虑,由点 P 表示的有理数可得出 AP 、 BP 的长度(用含字母 a 的代数式表示),根据三等分点的定义可得出 MP 、 NP 的长度(用含字母 a 的代数式表示),再由 MN=MP+NP (或 MN=MP-NP ),即可求出 MN=6 为固定值.
【详解】
解:( 1 )若点 P 表示的有理数是 0 (如图 1 ),则 AP=6 , BP=3 .
∵ M 是线段 AP 靠近点 A 的三等分点, N 是线段 BP 靠近点 B 的三等分点.
∴ MP= AP=4 , NP= BP=2 ,
∴ MN=MP+NP=6 ;
若点 P 表示的有理数是 6 (如图 2 ),则 AP=12 , BP=3 .
∵ M 是线段 AP 靠近点 A 的三等分点, N 是线段 BP 靠近点 B 的三等分点.
∴ MP= AP=8 , NP= BP=2 ,
∴ MN=MP-NP=6 .
故答案为: 6 ; 6 .
( 2 ) MN 的长不会发生改变,理由如下:
设点 P 表示的有理数是 a ( a > -6 且 a≠3 ).
当 -6 < a < 3 时(如图 1 ), AP=a+6 , BP=3-a .
∵ M 是线段 AP 靠近点 A 的三等分点, N 是线段 BP 靠近点 B 的三等分点.
∴ MP= AP= ( a+6 ), NP= BP= ( 3-a ),
∴ MN=MP+NP=6 ;
当 a > 3 时(如图 2 ), AP=a+6 , BP=a-3 .
∵ M 是线段 AP 靠近点 A 的三等分点, N 是线段 BP 靠近点 B 的三等分点.
∴ MP= AP= ( a+6 ), NP= BP= ( a-3 ),
∴ MN=MP-NP=6 .
综上所述:点 P 在射线 AB 上运动(不与点 A , B 重合)的过程中, MN 的长为定值 6 .
【点睛】
本题考查了两点间的距离,解题的关键是:( 1 )根据三点分点的定义找出 MP 、 NP 的长度;( 2 )分 -6 < a < 3 及 a > 3 两种情况找出 MP 、 NP 的长度(用含字母 a 的代数式表示).
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