已知:如图,一条直线上依次有 A 、 B 、 C 三点.
( 1 )若 BC = 60 , AC = 3AB ,求 AB 的长;
( 2 )若点 D 是射线 CB 上一点,点 M 为 BD 的中点,点 N 为 CD 的中点,求 的值;
( 3 )当点 P 在线段 BC 的延长线上运动时,点 E 是 AP 中点,点 F 是 BC 中点,下列结论中:
① 是定值;
② 是定值.其中只有一个结论是正确的,请选择正确结论并求出其值.
( 1)AB=30;(2)2;(3)①详见解析;②详见解析.
【解析】
( 1 )由 AC=AB+BC=3AB 可得;
( 2 )分三种情况: ① D 在 BC 之间时 ② D 在 AB 之间时 ③ D 在 A 点左侧时;
( 3 )分三种情况讨论: ① F 、 E 在 BC 之间, F 在 E 左侧 ② F 在 BC 之间, E 在 CP 之间 ③ F 、 E 在 BC 之间, F 在 E 右侧;
【详解】
( 1 ) ∵ BC = 60 , AC = AB+BC = 3AB ,
∴ AB = 30 ;
( 2 ) ∵点 M 为 BD 中点,点 N 为 CD 中点,
∴ BM = BD , DN = NC ,
① D 在 BC 之间时:
BC = BD+CD = 2MD+2DN = 2MN ,
∴ = 2 ;
② D 在 AB 之间时:
BC = DC ﹣ DB = 2DN ﹣ 2MB = 2 ( BN+2MB )﹣ 2MB = 2BN+2MB = 2MN ,
∴ = 2 ;
③ D 在 A 点左侧时:
BC = DN+NB = MN+DN ﹣ NB = MN+MB ﹣ NB = MN+MN+NB ﹣ NB = 2MN ,
∴ = 2 ;
故 = 2 ;
( 3 )点 E 是 AP 的中点,点 F 是 BC 的中点.
∴ AE = EP , BF = CF ,
①
EF = FC ﹣ EC = BC ﹣ AC+AE = ( AC ﹣ AB )﹣ AC+AE = AE ﹣ AB = AC ,
BP = AP ﹣ AB = 2AE ﹣ AB ,
AC ﹣ BP = AC ﹣ 2AE+AB ,
∴ = 2 .
②
EF = BC+CE = BC+AE ﹣ AC = ( AC ﹣ AB ) +AE ﹣ AC = AE ﹣ AB ﹣ AC ,
BP = AP ﹣ AB = 2AE ﹣ AB ,
AC ﹣ BP = AC+AB ﹣ 2AE ,
∴ = 2 .
③
EF = CE ﹣ CF = CE ﹣ BC = AC ﹣ AE ﹣ BC = AC ﹣ AE ﹣ ( AC ﹣ AB )= AC ﹣ AE+ AB ,
BP = AP ﹣ AB = 2AE ﹣ AB ,
∴ AC ﹣ BP = AC+AB ﹣ 2AE ,
∴ = 2 .
【点睛】
本题考查线段之间量的关系,结合图形,能够考虑到所有分类是解题的关键.
直线、射线、线段的基本性质:
图形 | 表示法 | 端点 | 延长线 | 能否度量 | 基本性质 | |
直线 | 没有端点的一条线 | 一条线, 不要端点 |
无 | 可以向两边无限延长 | 否 | 两端都没有端点,可以无限延长,不可测量的线 |
射线 | 只有一个端点的一条线 | 一条线, 只有一边有端点 |
一个 | 可以向一边无限延长 | 否 | 一端有端点,可以向一边无限延长,不可测量的线 |
线段 | 两边都有端点的一条线 | 一条线,两边都有端点 | 两个 | 不能延长 | 能 | 两端都有端点,不能延长,可测量的线 |
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