如图已知 △ABC.
( 1)请用尺规作图法作出BC的垂直平分线DE,垂足为D,交AC于点E, (保留作图痕迹,不写作法);
( 2)请用尺规作图法作出∠C的角平分线CF,交AB于点F,(保留作图痕迹,不写作法);
( 3)请用尺规作图法在BC上找出一点P,使△PEF的周长最小.(保留作图痕迹,不写作法).
详见解析
【解析】
( 1 )分别以 B、C 为圆心,以大于 BC 的长为半径作弧,两弧分别交于两点,过这两点作直线即可;
( 2 )以点 C 为圆心,任意长为半径作弧,与 CA、CB 交于两点,分别以这两点为圆心,以大于 这两点之间的线段长为半径作弧,两弧交于一点,过 C 和这一点做一条射线即可;
( 3) 由于 △ PEF 的周长 =PF+PE+EF ,而 EF 是定值,故只需在 BC 上找一点 P ,使 PF+PE 最小,作出 F 关于 BC 的对称点为 F ′,连接 EF ′得出即可.
【详解】
解:( 1)如图所示: DE 即为所求;( 2)如图所示: CF 即为所求;( 3)如图所示: P 点即为所求.
【点睛】
本题考查了角平分线的作法以及线段垂直垂直分线的作法以及轴对称中最短路线问题,解这类问题的关键是把两条线段的和转化为一条线段,运用三角形三边关系解决.
直线、射线、线段的基本性质:
图形 | 表示法 | 端点 | 延长线 | 能否度量 | 基本性质 | |
直线 | 没有端点的一条线 | 一条线, 不要端点 |
无 | 可以向两边无限延长 | 否 | 两端都没有端点,可以无限延长,不可测量的线 |
射线 | 只有一个端点的一条线 | 一条线, 只有一边有端点 |
一个 | 可以向一边无限延长 | 否 | 一端有端点,可以向一边无限延长,不可测量的线 |
线段 | 两边都有端点的一条线 | 一条线,两边都有端点 | 两个 | 不能延长 | 能 | 两端都有端点,不能延长,可测量的线 |
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