如图 1 ,已知点 C 在线段 AB 上,线段 AC=10 厘米, BC=6 厘米,点 M,N 分别是 AC,BC 的中点.
( 1 )求线段 MN 的长度;
( 2 )根据第( 1 )题的计算过程和结果,设 AC+BC=a ,其他条件不变,求 MN 的长度;
( 3 )动点 P、Q 分别从 A、B 同时出发,点 P 以 2cm/s 的速度沿 AB 向右运动,终点为 B ,点 Q 以 1cm/s 的速度沿 AB 向左运动,终点为 A ,当一个点到达终点,另一个点也随之停止运动,求运动多少秒时, C、P、Q 三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点?
( 1) 8厘米;(2) a;(3)t=4 或 或 .
【解析】
( 1)(2 )根据中点的定义、线段的和差,可得答案;
( 3 )根据线段中点的性质,可得方程,根据解方程,可得答案.
【详解】
( 1) ∵线段 AC=10 厘米, BC=6 厘米,点 M,N 分别是 AC,BC 的中点,
∴ CM= AC=5 厘米, CN= BC=3 厘米,
∴ MN=CM+CN=8 厘米;
( 2) ∵点 M,N 分别是 AC,BC 的中点,
∴ CM= AC,CN= BC,
∴ MN=CM+CN= AC+ BC= a;
( 3) ①当 0<t≤5 时, C 是线段 PQ 的中点,得
10﹣2t=6﹣t ,解得 t=4;
②当 5<t≤ 时, P 为线段 CQ 的中点, 2t﹣10=16﹣3t ,解得 t= ;
③当 < t≤6 时, Q 为线段 PC 的中点, 6﹣t=3t﹣16 ,解得 t= ;
④当 6<t≤8 时, C 为线段 PQ 的中点, 2t﹣10=t﹣6 ,解得 t=4 (舍),
综上所述: t=4 或 或 .
【点睛】
本题考查了线段的中点和计算,利用线段中点的性质得出关于 t 的方程是解题关键,要分类讨论,以防遗漏.
直线、射线、线段的基本性质:
图形 | 表示法 | 端点 | 延长线 | 能否度量 | 基本性质 | |
直线 | 没有端点的一条线 | 一条线, 不要端点 |
无 | 可以向两边无限延长 | 否 | 两端都没有端点,可以无限延长,不可测量的线 |
射线 | 只有一个端点的一条线 | 一条线, 只有一边有端点 |
一个 | 可以向一边无限延长 | 否 | 一端有端点,可以向一边无限延长,不可测量的线 |
线段 | 两边都有端点的一条线 | 一条线,两边都有端点 | 两个 | 不能延长 | 能 | 两端都有端点,不能延长,可测量的线 |
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