已知:如图 1 ,点 M 是线段 AB 上一定点, AB = 12cm , C 、 D 两点分别从 M 、 B 出发以 1cm/s 、 2cm/s 的速度沿直线 BA 向左运动,运动方向如箭头所示( C 在线段 AM 上, D 在线段 BM 上)
( 1 )若 AM = 4cm ,当点 C 、 D 运动了 2s ,此时 AC = , DM = ;(直接填空)
( 2 )当点 C 、 D 运动了 2s ,求 AC+MD 的值.
( 3 )若点 C 、 D 运动时,总有 MD = 2AC ,则 AM = (填空)
( 4 )在( 3 )的条件下, N 是直线 AB 上一点,且 AN ﹣ BN = MN ,求 的值.
( 1)2,4;(2)6 cm;(3)4; ( 4 ) 或 1 .
【分析】
( 1 )先求出 CM 、 BD 的长,再根据线段的和差即可得;
( 2 )先求出 BD 与 CM 的关系,再根据线段的和差即可得;
( 3)根据已知得 MB = 2AM ,然后根据 AM+BM=AB ,代入即可求解;
( 4 )分点 N 在线段 AB 上和点 N 在线段 AB 的延长线上两种情况,再分别根据线段的和差倍分即可得.
【详解】
( 1 )根据题意知, CM = 2cm , BD = 4cm ,
∵ AB = 12cm , AM = 4cm ,
∴ BM = 8cm ,
∴ AC = AM ﹣ CM = 2cm , DM = BM ﹣ BD = 4cm ,
故答案为: 2cm , 4cm ;
( 2 )当点 C 、 D 运动了 2 s 时, CM = 2 cm , BD = 4 cm
∵ AB = 12 cm , CM = 2 cm , BD = 4 cm
∴ AC+MD = AM ﹣ CM+BM ﹣ BD = AB ﹣ CM ﹣ BD = 12 ﹣ 2 ﹣ 4 = 6 cm ;
( 3 )根据 C 、 D 的运动速度知: BD = 2MC ,
∵ MD = 2AC ,
∴ BD+MD = 2 ( MC+AC ),即 MB = 2AM ,
∵ AM+BM = AB ,
∴ AM+2AM = AB ,
∴ AM = AB = 4 ,
故答案为: 4 ;
( 4 ) ①当点 N 在线段 AB 上时,如图 1 ,
∵ AN ﹣ BN = MN ,
又 ∵ AN ﹣ AM = MN
∴ BN = AM = 4
∴ MN = AB ﹣ AM ﹣ BN = 12 ﹣ 4 ﹣ 4 = 4
∴ ;
②当点 N 在线段 AB 的延长线上时,如图 2 ,
∵ AN ﹣ BN = MN ,
又 ∵ AN ﹣ BN = AB
∴ MN = AB = 12
∴ ;
综上所述 或 1
故答案为 或 1 .
【点睛】
本题考查了线段上的动点问题,线段的和差,较难的是题( 4 ),依据题意,正确分两种情况讨论是解题关键.
直线、射线、线段的基本性质:
图形 | 表示法 | 端点 | 延长线 | 能否度量 | 基本性质 | |
直线 | 没有端点的一条线 | 一条线, 不要端点 |
无 | 可以向两边无限延长 | 否 | 两端都没有端点,可以无限延长,不可测量的线 |
射线 | 只有一个端点的一条线 | 一条线, 只有一边有端点 |
一个 | 可以向一边无限延长 | 否 | 一端有端点,可以向一边无限延长,不可测量的线 |
线段 | 两边都有端点的一条线 | 一条线,两边都有端点 | 两个 | 不能延长 | 能 | 两端都有端点,不能延长,可测量的线 |
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