已知,点 A 、 B 、 C 在同一条直线上,点 M 为线段 AC 的中点、点 N 为线段 BC 的中点 .
( 1 )如图,当点 C 在线段 AB 上时:
① 若线段 ,求 的长度.
② 若 AB=a ,求 MN 的长度.
( 2 )若 ,求 MN 的长度(用含 的代数式表示).
( 1 ) ① 7; ② a; ( 2 )见解析 .
【解析】
( 1 ) ①根据 “ 点 M 、 N 分别是 AC 、 BC 的中点 ” ,先求出 MC 、 CN 的长度,再利用 MN=CM+CN 即可求出 MN 的长度即可,
②方法同①
( 2 )需分三种情况,结合图形,很容易看出线段之间的关系,分:当点 C 在线段 AB 上时, ;当点 C 在线段 AB 的延长线时, ;
当点 C 在线段 BA 的延长线时, .
【详解】
解:( 1 )当点 在线段 上时
①∵点 M 、 N 分别是 AC 、 BC 的中点,
∴ CM= AC=4 , CN= BC=3 ,
∴ MN=CM+CN=4+3=7 ;
②∵同( 1 )可得 CM= CM= AC , CN= BC ,
∴ MN=CM+CN= AC+ BC= ( AC+BC ) = AB= a.
( 2 )当点 C 在线段 AB 上时, ;
当点 C 在线段 AB 的延长线时, ;
当点 C 在线段 BA 的延长线时, .
【点睛】
本题考查两点间的距离,利用了线段中点的性质,线段的和差.分情况讨论是解题的难点,难度较大.
直线、射线、线段的基本性质:
图形 | 表示法 | 端点 | 延长线 | 能否度量 | 基本性质 | |
直线 | 没有端点的一条线 | 一条线, 不要端点 |
无 | 可以向两边无限延长 | 否 | 两端都没有端点,可以无限延长,不可测量的线 |
射线 | 只有一个端点的一条线 | 一条线, 只有一边有端点 |
一个 | 可以向一边无限延长 | 否 | 一端有端点,可以向一边无限延长,不可测量的线 |
线段 | 两边都有端点的一条线 | 一条线,两边都有端点 | 两个 | 不能延长 | 能 | 两端都有端点,不能延长,可测量的线 |
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