如图, MN 为 ⊙ O 的直径, A 、 B 是 ⊙ O 上的两点,过 A 作 AC ⊥ MN 于点 C ,过 B 作 BD ⊥ MN 于点 D , P 为 DC 上的任意一点,若 MN = 20 , AC = 8 , BD = 6 ,则 PA+PB 的最小值是( ).
A . 20 B . C . 14 D .
B
【分析】
连接 OA 、 OB ,根据 AC ⊥ MN , BD ⊥ MN ,经勾股定理计算得到 OC 、 OD ;延长 BD 与 ⊙ O 相交于点 G ,推导得当点 P 在直线 AG 上时, 取最小值;过 G 作 GH ⊥ AC 于点 H ,经证明四边形 是矩形,并经勾股定理计算即可得到 AG 的值,即可完成求解.
【详解】
如图,连接 OA 、 OB
∵ AC ⊥ MN , BD ⊥ MN
∴ ,
∵ MN = 20 , A 、 B 是 ⊙ O 上的两点
∴
∴ ,
∴ ,
∴
延长 BD 与 ⊙ O 相交于点 G
∵ MN 为 ⊙ O 的直径, BD ⊥ MN
∴ ,
∴
当点 P 在直线 AG 上时, 取最小值,且最小值
过 G 作 GH ⊥ AC 于点 H
又 ∵ AC ⊥ MN , BD ⊥ MN
∴ , ,
∴四边形 是矩形
∴ ,
∴
∴
∴ PA+PB 的最小值是:
故选: B .
【点睛】
本题考查了勾股定理、圆的垂径定理、矩形、两点之间线段最短的知识;解题的关键是熟练掌握勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的性质,从而完成求解.
直线、射线、线段的基本性质:
图形 | 表示法 | 端点 | 延长线 | 能否度量 | 基本性质 | |
直线 | 没有端点的一条线 | 一条线, 不要端点 |
无 | 可以向两边无限延长 | 否 | 两端都没有端点,可以无限延长,不可测量的线 |
射线 | 只有一个端点的一条线 | 一条线, 只有一边有端点 |
一个 | 可以向一边无限延长 | 否 | 一端有端点,可以向一边无限延长,不可测量的线 |
线段 | 两边都有端点的一条线 | 一条线,两边都有端点 | 两个 | 不能延长 | 能 | 两端都有端点,不能延长,可测量的线 |
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