如图,在 △ ABC 中, ∠ C=90°, ∠ BAC=30°,AB=8,AD 平分 ∠ BAC ,点 PQ 分别是 AB、AD 边上的动点,则 PQ+BQ 的最小值是
A . 4 B . 5 C . 6 D . 7
A
【解析】
分析:如图,作点 P 关于直线 AD 的对称点 P′ ,连接 QP′ ,由 △ AQP ≌△ AQP′ ,得 PQ=QP′ ,欲求 PQ+BQ 的最小值,只要求出 BQ+QP′ 的最小值,即当 BP′ ⊥ AC 时, BQ+QP′ 的值最小,此时 Q 与 D 重合, P′ 与 C 重合,最小值为 BC 的长.
详解:如图 , 作点 P 关于直线 AD 的对称点 P′, 连接 QP′ ,
在 △ AQP 和 △ AQP′ 中,
,
∴ △ AQP ≌ △ AQP′ ,
∴ PQ=QP′
∴ 欲求 PQ+BQ 的最小值 , 只要求出 BQ+QP′ 的最小值,
∴ 当 BP′ ⊥ AC 时 ,BQ+QP′ 的值最小 , 此时 Q 与 D 重合 ,P′ 与 C 重合,最小值为 BC 的长.
在 Rt △ ABC 中 , ∵∠ C=90°,AB=8, ∠ BAC=30° ,
∴ BC= AB=4 ,
∴ PQ+BQ 的最小值是 4 ,
故选 A.
点睛:本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题、垂线段最短等知识,找出点 P、Q 的位置是解题的关键 .
直线、射线、线段的基本性质:
图形 | 表示法 | 端点 | 延长线 | 能否度量 | 基本性质 | |
直线 | 没有端点的一条线 | 一条线, 不要端点 |
无 | 可以向两边无限延长 | 否 | 两端都没有端点,可以无限延长,不可测量的线 |
射线 | 只有一个端点的一条线 | 一条线, 只有一边有端点 |
一个 | 可以向一边无限延长 | 否 | 一端有端点,可以向一边无限延长,不可测量的线 |
线段 | 两边都有端点的一条线 | 一条线,两边都有端点 | 两个 | 不能延长 | 能 | 两端都有端点,不能延长,可测量的线 |
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