如图,在直角坐标系 xOy 中,点 P 的坐标为( 4 , 3 ), PQ ⊥ x 轴于 Q , M , N 分别为 OQ , OP 上的动点,则 QN + MN 的最小值为( )
A . B . C . D .
D
【分析】
作 Q点关于OP的对称点E,过 E 作 EF 垂直 AB 交 AB 于 F 点,利用三角形的高求出 EQ= , 又 △EFQ 相似于 △ OPB ,利用相似的性质求出 EF 即可 .
【详解】
解:作 Q点关于OP的对称点E,过 E 作 EF 垂直 AB 交 AB 于 F 点,
由题意可得: PQ=4 , PQ=3 , OP=5
则 △ OPQ , OP 边上的高为 ,所以 EQ=
又分析题意可得: △ EFQ ∽△ OPB
则 即 ,解得: EF= .
故答案为 D.
【点睛】
本题考查了最短距离问题,解答的关键在于根据题意做出辅助线和正确运用相似三角形的知识 .
特殊位置的点的坐标的特点:
1.x轴上的点的纵坐标为零;y轴上的点的横坐标为零。
2.第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等;第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
3.在任意的两点中,如果两点的横坐标相同,则两点的连线平行于纵轴;如果两点的纵坐标相同,则两点的连线平行于横轴。
4.点到轴及原点的距离
点到x轴的距离为|y|; 点到y轴的距离为|x|;点到原点的距离为x的平方加y的平方的平方根;
对称点:
1.关于x轴成轴对称的点的坐标,横坐标相同,纵坐标互为相反数。(横同纵反)
2.关于y轴成轴对称的点的坐标,纵坐标相同,横坐标互为相反数。(横反纵同)
3.关于原点成中心对称的点的坐标,横坐标与横坐标互为相反数,纵坐标与纵坐标互为相反数。(横纵皆反)
点的符号:
横坐标 纵坐标
第一象限:(+,+)正正
第二象限:(-,+)负正
第三象限:(-,-)负负
第四象限:(+,-)正负
x轴正半轴:(+,0)
x轴负半轴:(-,0)
y轴正半轴:(0,+)
y轴负半轴: (0,-)
x轴上的点的纵坐标为0,y轴上的点的横坐标为0。
原点:(0,0)
注:以数对形式(x,y)表示的坐标系中的点(如2,-4),“2”是x轴坐标,“-4”是y轴坐标。
其他公式:
1.坐标平面内的点与有序实数对一一对应。
2. 一三象限角平分线上的点横纵坐标相等。
3.二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。
4.一点上下平移,横坐标不变,即平行于y轴的直线上的点横坐标相同。
5.y轴上的点,横坐标都为0。
6.x轴上的点,纵坐标都为0。
7.坐标轴上的点不属于任何象限。
8.一个关于x轴对称的点横坐标不变,纵坐标变为原坐标的相反数。反之同样成立。
9.一个关于原点对称的点横纵坐标均为原坐标相反数。
10.与x轴做轴对称变换时,x不变,y变
11.与y轴做轴对称变换时,y不变,x变
12.与原点做轴对称变换时,y与x都变
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