如图,在等边 △ ABC 中, BF 是 AC 边上的中线,点 D 在 BF 上,连接 AD ,在 AD 的右侧作等边 △ ADE ,连接 EF ,当 △ AEF 周长最小时, ∠ CFE 的大小是 ( )
A . 30° B . 45° C . 60° D . 90°
D
【解析】
分析:首先证明点 E 在射线 CE 上运动( ∠ ACE=30°),
因为 AF 为定值,所以当 AE+EF 最小时, △ AEF 的周长最小,
作点 A 关于直线 CE 的对称点 M ,连接 FM 交 CE 于 E ′,此时 AE′+FE ′的值最小 ,
根据等边三角形的判定和性质即可求出 ∠ CFE 的大小 .
详解: ∵△ABC,△ADE 都是等边三角形,
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=∠ABC=60°,
∴∠BAD=∠CAE,
∴△BAD≌△CAE,
∴∠ABD=∠ACE,
∵AF=CF,
∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°,
∴点 E 在射线 CE 上运动( ∠ ACE=30°),
作点 A 关于直线 CE 的对称点 M ,连接 FM 交 CE 于 E ′,此时 AE′+FE ′的值最小,
∵CA=CM,∠ACM=60°,
∴△ACM 是等边三角形,
∵AF=CF,
∴FM⊥AC,
∴∠CFE′=90°,
故选 D.
点睛:本题考查轴对称 —— 最短距离问题、等边三角形的性质和判定,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是证明点 E 在射线 CE 上运动( ∠ ACE=30 °),本题难度比较大,属于中考选择题中的压轴题.
直线、射线、线段的基本性质:
图形 | 表示法 | 端点 | 延长线 | 能否度量 | 基本性质 | |
直线 | 没有端点的一条线 | 一条线, 不要端点 |
无 | 可以向两边无限延长 | 否 | 两端都没有端点,可以无限延长,不可测量的线 |
射线 | 只有一个端点的一条线 | 一条线, 只有一边有端点 |
一个 | 可以向一边无限延长 | 否 | 一端有端点,可以向一边无限延长,不可测量的线 |
线段 | 两边都有端点的一条线 | 一条线,两边都有端点 | 两个 | 不能延长 | 能 | 两端都有端点,不能延长,可测量的线 |
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