如图,∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上,当B在边ON上运动时,A随之在OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=4,BC=2.运动过程中点D到点O的最大距离是______.
+2
【解析】
取AB的中点E,连接OE、DE、OD,根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、E三点共线时,点D到点O的距离最大,再根据勾股定理列式求出DE的长,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长,两者相加即可得解.
【详解】
如图,取AB的中点E,连接OE、DE、OD,
∵OD≤OE+DE,
∴当O、D、E三点共线时,点D到点O的距离最大,
此时,∵AB=4,BC=2,
∴OE=AE=AB=2,
DE==,
∴OD的最大值为:+2,
故答案为+2.
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边中线的性质,三角形的三边关系,矩形的性质,勾股定理,根据三角形的三边关系判断出点O、E、D三点共线时,点D到点O的距离最大是解题的关键.
三角形的三边关系:
在三角形中,任意两边和大于第三边,任意两边差小于第三边。
设三角形三边为a,b,c
则
a+b>c
a+c>b
b+c>a
a-b<c
a-c<b
b-c<a
在直角三角形中,设a、b为直角边,c为斜边。
则两直角边的平方和等于斜边平方。
在等边三角形中,a=b=c
在等腰三角形中, a,b为两腰,则a=b
在三角形ABC的内角A、B、C所对边分别为a、b、c的情况下,c2=a2+b2-2abcosc
三角形的三边关系定理及推论:
(1)三角形三边关系定理:三角形的两边之和大于第三边。
推论:三角形的两边之差小于第三边。
(2)三角形三边关系定理及推论的作用:
①判断三条已知线段能否组成三角形;
②当已知两边时,可确定第三边的范围;
③证明线段不等关系。
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