如图,在平行四边形ABCD中,边AB的垂直平分线交AD于点E,交CB的延长线于点F,连接AF,BE.
(1)求证:△AGE≌△BGF;
(2)试判断四边形AFBE的形状,并说明理由.
(1)证明见解析(2)四边形AFBE是菱形
【解析】
试题分析:(1)由平行四边形的性质得出AD∥BC,得出∠AEG=∠BFG,由AAS证明△AGE≌△BGF即可;
(2)由全等三角形的性质得出AE=BF,由AD∥BC,证出四边形AFBE是平行四边形,再根据EF⊥AB,即可得出结论.
试题解析:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠AEG=∠BFG,∵EF垂直平分AB,∴AG=BG,在△AGEH和△BGF中,∵∠AEG=∠BFG,∠AGE=∠BGF,AG=BG,∴△AGE≌△BGF(AAS);
(2)解:四边形AFBE是菱形,理由如下:
∵△AGE≌△BGF,∴AE=BF,∵AD∥BC,∴四边形AFBE是平行四边形,又∵EF⊥AB,∴四边形AFBE是菱形.
考点:平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质;探究型.
平行四边形的性质:
主要性质
(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。)
(1)如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两组对边分别相等。
(简述为“平行四边形的两组对边分别相等”)
(2)如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两组对角分别相等。
(简述为“平行四边形的两组对角分别相等”)
(3)如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的邻角互补
(简述为“平行四边形的邻角互补”)
(4)夹在两条平行线间的平行线段相等。
(5)如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两条对角线互相平分。
(简述为“平行四边形的对角线互相平分”)
(6)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论)
(7)平行四边形的面积等于底和高的积。(可视为矩形)
(8)过平行四边形对角线交点的直线,将平行四边形分成全等的两部分图形。
(9)平行四边形是中心对称图形,对称中心是两对角线的交点.
(10)平行四边形不是轴对称图形,矩形和菱形是轴对称图形。
注:正方形,矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形,三者具有平行四边形的性质。
(11)平行四边形ABCD中(如图)E为AB的中点,则AC和DE互相三等分,一般地,若E为AB上靠近A的n等分点,则AC和DE互相(n+1)等分。
(12)平行四边形ABCD中,AC、BD是平行四边形ABCD的对角线,则各四边的平方和等于对角线的平方和。
(13)平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。
(14)平行四边形中,两条在不同对边上的高所组成的夹角,较小的角等于平行四边形中较小的角,较大的角等于平行四边形中较大的角。
(15)平行四边形中,一个角的顶点向他对角的两边所做的高,与这个角的两边组成的夹角相等。
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