在菱形中,,点是射线上一动点,以为边向右侧作等边,点的位置随点的位置变化而变化.
(1)如图1,当点在菱形内部或边上时,连接,与的数量关系是 ,与的位置关系是 ;
(2)当点在菱形外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请予以证明;若不成立,
请说明理由(选择图2,图3中的一种情况予以证明或说理).
(3) 如图4,当点在线段的延长线上时,连接,若 , ,求四边形的面积.
(1)BP=CE; CE⊥AD;(2)成立,理由见解析;(3) .
【解析】(1)①连接AC,证明△ABP≌△ACE,根据全等三角形的对应边相等即可证得BP=CE;②根据菱形对角线平分对角可得,再根据△ABP≌△ACE,可得,继而可推导得出 ,即可证得CE⊥AD;
(2)(1)中的结论:BP=CE,CE⊥AD 仍然成立,利用(1)的方法进行证明即可;
(3)连接AC交BD于点O,CE,作EH⊥AP于H,由已知先求得BD=6,再利用勾股定理求出CE的长,AP长,由△APE是等边三角形,求得, 的长,再根据,进行计算即可得.
【详解】(1)①BP=CE,理由如下:
连接AC,
∵菱形ABCD,∠ABC=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°,
∵△APE是等边三角形,
∴AP=AE ,∠PAE=60° ,
∴∠BAP=∠CAE,
∴△ABP≌△ACE,∴BP=CE;
②CE⊥AD ,
∵菱形对角线平分对角,
∴,
∵△ABP≌△ACE,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴ ,
∴CF⊥AD ,即CE⊥AD;
(2)(1)中的结论:BP=CE,CE⊥AD 仍然成立,理由如下:
连接AC,
∵菱形ABCD,∠ABC=60°,
∴△ABC和△ACD都是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAD=120° ,
∠BAP=120°+∠DAP,
∵△APE是等边三角形,
∴AP=AE , ∠PAE=60° ,
∴∠CAE=60°+60°+∠DAP=120°+∠DAP,
∴∠BAP=∠CAE,
∴△ABP≌△ACE,∴BP=CE,,
∴∠DCE=30° ,∵∠ADC=60°,
∴∠DCE+∠ADC=90° , ∴∠CHD=90° ,∴CE⊥AD,
∴(1)中的结论:BP=CE,CE⊥AD 仍然成立;
(3) 连接AC交BD于点O,CE,作EH⊥AP于H,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,BD平分∠ABC ,
∵∠ABC=60°,,
∴∠ABO=30° ,∴ , BO=DO=3,
∴BD=6,
由(2)知CE⊥AD,
∵AD∥BC,∴CE⊥BC,
∵ , ,
∴,
由(2)知BP=CE=8,∴DP=2,∴OP=5,
∴,
∵△APE是等边三角形,∴ , ,
∵,
∴,
=
=
=,
∴四边形ADPE的面积是 .
【点睛】本题考查了菱形的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形判定与性质等,熟练掌握相关知识,正确添加辅助线是解题的关键.
三角形全等判定定理:
1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”),这一条也说明了
三角形具有稳定性的原因。
2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。
3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。
4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)
5、直角三角形全等条件有:斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边,直角边”) 所以:SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。
注意:在全等的判定中,没有AAA和SSA,这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。
三角形全等的判定公理及推论:
(1)“边角边”简称“SAS”
(2)“角边角”简称“ASA”
(3)“边边边”简称“SSS”
(4)“角角边”简称“AAS”
注意:在全等的判定中,没有AAA和SSA,这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。
要验证全等三角形,不需验证所有边及所有角也对应地相同。
以下判定,是由三个对应的部分组成,即全等三角形可透过以下定义来判定:
①S.S.S. (边、边、边):
各三角形的三条边的长度都对应地相等的话,该两个三角形就是全等。
②S.A.S. (边、角、边):
各三角形的其中两条边的长度都对应地相等,且两条边夹着的角都对应地相等的话,该两个三角形就是全等。
③A.S.A. (角、边、角):
各三角形的其中两个角都对应地相等,且两个角夹着的边都对应地相等的话,该两个三角形就是全等。
④A.A.S. (角、角、边):
各三角形的其中两个角都对应地相等,且没有被两个角夹着的边都对应地相等的话,该两个三角形就是全等。
⑤R.H.S. / H.L. (直角、斜边、边):
各三角形的直角、斜边及另外一条边都对应地相等的话,该两个三角形就是全等。 但并非运用任何三个相等的部分便能判定三角形是否全等。以下的判定同样是运用两个三角形的三个相等的部分,但不能判定全等三角形:
⑥A.A.A. (角、角、角):
各三角形的任何三个角都对应地相等,但这并不能判定全等三角形,但则可判定相似三角形。
⑦A.S.S. (角、边、边):
各三角形的其中一个角都相等,且其余的两条边(没有夹着该角),但这并不能判定全等三角形,除非是直角三角形。
但若是直角三角形的话,应以R.H.S.来判定。
解题技巧:
一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。
因此我们可以来采取逆思维的方式。
来想要证全等,则需要什么条件:要证某某边等于某某边,那么首先要证明含有那两个边的三角形全等。
然后把所得的等式运用(AAS/ASA/SAS/SSS/HL)证明三角形全等。
有时还需要画辅助线帮助解题。常用的辅助线有:倍长中线,截长补短等。
分析完毕以后要注意书写格式,在全等三角形中,如果格式不写好那么就容易出现看漏的现象。
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