如图,△ABC中,∠BAC=900,AB=AC,点D是BC上一动点,连接AD,过点A作AE⊥AD,并且始终保持AE=AD,连接CE.
(1)求证:△ABD≌△ACE;
(2)若AF平分∠DAE交BC于F,探究线段BD,DF,FC之间的数量关系,并证明;
(3)在(2)的条件下,若BD=6,CF=8,求AD的长.
(1)证明见解析(2)BD2+FC2=DF2,证明见解析;(3)6
【分析】
(1)根据SAS,只要证明∠1=∠2即可解决问题;
(2)结论:BD2+FC2=DF2.连接FE,想办法证明∠ECF=90°,EF=DF,利用勾股定理即可解决问题;
(3)过点A作AG⊥BC于G.在Rt△ADG中,想办法求出AG、DG即可解决问题.
【详解】
(1)∵AE⊥AD,∴∠DAE=∠DAC+∠2=90°.
又∵∠BAC=∠DAC+∠1=90°,∴∠1=∠2.在△ABD和△ACE中,∵,∴△ABD≌△ACE.
(2)结论:BD2+FC2=DF2.理由如下:
连接FE.
∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠B=∠3=45°.
由(1)知△ABD≌△ACE,∴∠4=∠B=45°,BD=CE,∴∠ECF=∠3+∠4=90°,∴CE2+CF2=EF2,∴BD2+FC2=EF2.
∵AF平分∠DAE,∴∠DAF=∠EAF.在△DAF和△EAF中,∵,∴△DAF≌△EAF,∴DF=EF,∴BD2+FC2=DF2.
(3)过点A作AG⊥BC于G,由(2)知DF2=BD2+FC2=62+82=100,∴DF=10,∴BC=BD+DF+FC=6+10+8=24.
∵AB=AC,AG⊥BC,∴BG=AG=BC=12,∴DG=BG﹣BD=12﹣6=6,∴在Rt△ADG中,AD===6.
【点睛】
本题是三角形综合题.考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题.
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