我市某中学有一块四边形的空地ABCD,如图所示,为了绿化环境,学校计划在空地上种植草皮,经测量∠A=90°,AB=3m,DA=4m,BC=12m,CD=13m.
(1)求出空地ABCD的面积.
(2)若每种植1平方米草皮需要200元,问总共需投入多少元?
(1)36;(2)7200元.
【解析】
分析:(1)连接BD.在Rt△ABD中可求得BD的长,由BD、CD、BC的长度关系可得△DBC为直角三角形,DC为斜边;由四边形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC构成,则容易求解;
(2)根据总费用=面积×单价解答即可.
详解:(1)连接BD.在Rt△ABD中,BD2=AB2+AD2=32+42=52.在△CBD中,CD2=132,BC2=122,而122+52=132,即BC2+BD2=CD2,∴∠DBC=90°,
S四边形ABCD=S△BAD+S△DBC=•AD•AB+DB•BC=×4×3+×12×5=36.
(2)需费用36×200=7200(元).
点睛:本题考查了勾股定理及逆定理的应用,通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形,这样解题较为简单.
勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a,b,c满足,那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或钝角的一个简单的方法。
若c为最长边,且a2+b2=c2,则△ABC是直角三角形。如果a2+b2>c2,则△ABC是锐角三角形。如果a2+b2<c2,则△ABC是钝角三角形。
由于余弦定理是由勾股定理推出的,故可以用来证明其逆定理而不算循环论证。
勾股定理的逆定理是判定三角形是不是直角三角形的重要方法。
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