如图.在直角坐标系中,矩形ABCO的边OA在x轴上,边OC在y轴上,点B的坐标为(1,3),将矩形沿对角线AC翻折,B点落在D点的位置,且AD交y轴于点E,那么点D的坐标为______.
(﹣,)
【分析】
首先过D作DF⊥AF于F,根据折叠可以证明△CDE≌△AOE,然后利用全等三角形的性质得到OE=DE,OA=CD=1,设OE=x,那么CE=3﹣x,DE=x,利用勾股定理即可求出OE的长度,而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF,而AD=AB=3,接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度,也就求出了D的坐标.
【详解】
解:如图,过D作DF⊥AO于F,
∵点B的坐标为(1,3),
∴BC=AO=1,AB=OC=3,
根据折叠可知:CD=BC=OA=1,∠CDE=∠B=∠AOE=90°,AD=AB=3,
在△CDE和△AOE中,
,
∴△CDE≌△AOE,
∴OE=DE,OA=CD=1,AE=CE,
设OE=x,那么CE=3﹣x,DE=x,
∴在Rt△DCE中,CE2=DE2+CD2,
∴(3﹣x)2=x2+12,
∴x=,
∴OE=,AE=CE=OC﹣OE=3﹣=,
又∵DF⊥AF,
∴DF∥EO,
∴△AEO∽△ADF,
∴AE:AD=EO:DF=AO:AF,
即:3=:DF=1:AF,
∴DF=,AF=,
∴OF=﹣1= ,
∴D的坐标为:(﹣,).
故答案为(﹣,).
【点睛】
此题主要考查了图形的折叠问题、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及坐标与图形的性质.解题的关键是把握折叠的隐含条件,利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形,然后利用它们的性质即可解决问题.
特殊位置的点的坐标的特点:
1.x轴上的点的纵坐标为零;y轴上的点的横坐标为零。
2.第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等;第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
3.在任意的两点中,如果两点的横坐标相同,则两点的连线平行于纵轴;如果两点的纵坐标相同,则两点的连线平行于横轴。
4.点到轴及原点的距离
点到x轴的距离为|y|; 点到y轴的距离为|x|;点到原点的距离为x的平方加y的平方的平方根;
对称点:
1.关于x轴成轴对称的点的坐标,横坐标相同,纵坐标互为相反数。(横同纵反)
2.关于y轴成轴对称的点的坐标,纵坐标相同,横坐标互为相反数。(横反纵同)
3.关于原点成中心对称的点的坐标,横坐标与横坐标互为相反数,纵坐标与纵坐标互为相反数。(横纵皆反)
点的符号:
横坐标 纵坐标
第一象限:(+,+)正正
第二象限:(-,+)负正
第三象限:(-,-)负负
第四象限:(+,-)正负
x轴正半轴:(+,0)
x轴负半轴:(-,0)
y轴正半轴:(0,+)
y轴负半轴: (0,-)
x轴上的点的纵坐标为0,y轴上的点的横坐标为0。
原点:(0,0)
注:以数对形式(x,y)表示的坐标系中的点(如2,-4),“2”是x轴坐标,“-4”是y轴坐标。
其他公式:
1.坐标平面内的点与有序实数对一一对应。
2. 一三象限角平分线上的点横纵坐标相等。
3.二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。
4.一点上下平移,横坐标不变,即平行于y轴的直线上的点横坐标相同。
5.y轴上的点,横坐标都为0。
6.x轴上的点,纵坐标都为0。
7.坐标轴上的点不属于任何象限。
8.一个关于x轴对称的点横坐标不变,纵坐标变为原坐标的相反数。反之同样成立。
9.一个关于原点对称的点横纵坐标均为原坐标相反数。
10.与x轴做轴对称变换时,x不变,y变
11.与y轴做轴对称变换时,y不变,x变
12.与原点做轴对称变换时,y与x都变
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