Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,过点B的直线把△ABC分割成两个三角形,使其中只有一个是等腰三角形,则这个等腰三角形的面积是_____.
3.6或4.32或4.8
【解析】
在Rt△ABC中,通过解直角三角形可得出AC=5、S△ABC=6,找出所有可能的分割方法,并求出剪出的等腰三角形的面积即可.
【详解】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=3,BC=4,
∴AB==5,S△ABC=AB•BC=6.
沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形,使其中只有一个是等腰三角形,有三种情况:
①当AB=AP=3时,如图1所示,
S等腰△ABP=•S△ABC=×6=3.6;
②当AB=BP=3,且P在AC上时,如图2所示,
作△ABC的高BD,则BD=,
∴AD=DP==1.8,
∴AP=2AD=3.6,
∴S等腰△ABP=•S△ABC=×6=4.32;
③当CB=CP=4时,如图3所示,
S等腰△BCP=•S△ABC=×6=4.8;
综上所述:等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8,
故答案为3.6或4.32或4.8.
【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积,找出所有可能的分割方法,并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键.
等腰三角形的性质:
1.等腰三角形的两个底角度数相等(简写成“等边对等角”)。
2.等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高重合(简写成“等腰三角形的三线合一”)。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等)。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。
7.等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴,顶角平分线所在的直线是它的对称轴,等边三角形有三条对称轴。
8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
9.等腰三角形中腰大于高
10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)
等腰三角形的判定:
1.定义法:在同一三角形中,有两条边相等的三角形是等腰三角形。
2.判定定理:在同一三角形中,有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称:等角对等边)。
3.顶角的平分线,底边上的中分线,底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。
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如图,在下列等腰三角形中,若,则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是 ( )
A.(1),(2),(3)
C. (2),(3),(4)
B. (1),(3),(4)
D. (1),(2),(4)