如图,BD为四边形ABCD的对角线,BC=AD,∠A=∠CBD,∠ABD=120°,AB=3,CD=,则BC的长为_____________.
7
【解析】
如图,过点D作DE//BA,并且使DE=BD,连接BE,AE,过点B作BF⊥DE于点F,过点A作AG⊥DE于点G,则四边形ABFG是矩形,从而有FG=AB=3,AG=BF,通过证明△ADE≌△CBD,可得AE=CD=,根据已知易得△BDE是等边三角形,根据等边三角形的性质可得DF=BD,BF=BD,在Rt△AEG中,利用勾股定理可求得BD=5,从而得AG=,DG=,在Rt△ADG中,根据勾股定理求得AD长即可得答案.
【详解】如图,过点D作DE//BA,并且使DE=BD,连接BE,AE,过点B作BF⊥DE于点F,过点A作AG⊥DE于点G,则四边形ABFG是矩形,
∴FG=AB=3,AG=BF,
∵AB//DE,∴∠ADE=∠BAD,
∵∠BAD=∠CBD,
∴∠ADE=∠CBD,
又∵DE=BD,AD=BC,
∴△ADE≌△CBD,
∴AE=CD=,
∵∠ABD=120°,DE//AB,
∴∠BDE=60°,
∴△BDE是等边三角形,
∴DF=BD,BF=BD,
在Rt△AEG中, AE2=AG2+EG2,EG=DF+FG-DE=BD+3-BD=3-BD,
∴,
∴BD=5或BD=-2(舍去),
∴AG=,DG=DF+FG=+3=,
在Rt△ADG中,AD2=AG2+DG2=()2+()2=49,
∴AD=7,
∴BC=7,
故答案为:7.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理的应用等,综合性较强,有一定的难度,正确添加辅助线灵活应用相关知识是解题的关键.
三角形全等判定定理:
1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”),这一条也说明了
三角形具有稳定性的原因。
2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。
3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。
4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)
5、直角三角形全等条件有:斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边,直角边”) 所以:SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。
注意:在全等的判定中,没有AAA和SSA,这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。
三角形全等的判定公理及推论:
(1)“边角边”简称“SAS”
(2)“角边角”简称“ASA”
(3)“边边边”简称“SSS”
(4)“角角边”简称“AAS”
注意:在全等的判定中,没有AAA和SSA,这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。
要验证全等三角形,不需验证所有边及所有角也对应地相同。
以下判定,是由三个对应的部分组成,即全等三角形可透过以下定义来判定:
①S.S.S. (边、边、边):
各三角形的三条边的长度都对应地相等的话,该两个三角形就是全等。
②S.A.S. (边、角、边):
各三角形的其中两条边的长度都对应地相等,且两条边夹着的角都对应地相等的话,该两个三角形就是全等。
③A.S.A. (角、边、角):
各三角形的其中两个角都对应地相等,且两个角夹着的边都对应地相等的话,该两个三角形就是全等。
④A.A.S. (角、角、边):
各三角形的其中两个角都对应地相等,且没有被两个角夹着的边都对应地相等的话,该两个三角形就是全等。
⑤R.H.S. / H.L. (直角、斜边、边):
各三角形的直角、斜边及另外一条边都对应地相等的话,该两个三角形就是全等。 但并非运用任何三个相等的部分便能判定三角形是否全等。以下的判定同样是运用两个三角形的三个相等的部分,但不能判定全等三角形:
⑥A.A.A. (角、角、角):
各三角形的任何三个角都对应地相等,但这并不能判定全等三角形,但则可判定相似三角形。
⑦A.S.S. (角、边、边):
各三角形的其中一个角都相等,且其余的两条边(没有夹着该角),但这并不能判定全等三角形,除非是直角三角形。
但若是直角三角形的话,应以R.H.S.来判定。
解题技巧:
一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。
因此我们可以来采取逆思维的方式。
来想要证全等,则需要什么条件:要证某某边等于某某边,那么首先要证明含有那两个边的三角形全等。
然后把所得的等式运用(AAS/ASA/SAS/SSS/HL)证明三角形全等。
有时还需要画辅助线帮助解题。常用的辅助线有:倍长中线,截长补短等。
分析完毕以后要注意书写格式,在全等三角形中,如果格式不写好那么就容易出现看漏的现象。
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