在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,D、E分别是AC、BC上的一点,且DE=3, 若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N,则MN的最大值为( )
A. B. C. D.
D
【解析】
根据题意有C、O、G三点在一条直线上OG最小,MN最大,根据勾股定理求得AB,根据三角形面积求得CF,然后根据垂径定理和勾股定理即可求得MN的最大值.
【详解】
解:取DE的中点O,过点O作OG⊥MN于点G,作CH⊥AB于点H.
∴,
当弦心距OG最短时,MN取最大值,
∴当点C,O,G三点共线时,即当点O在CH上时,MN取最大值,
连接OM.
∵∠C=90°,BC=3,AC=4,
∴CH==2.4
∴OH=2.4-1.5=0.9,
∴OM=1.5,
则在Rt△MOH中,由勾股定理得MH=1.2,
根据垂径定理,MN=2MH=2.4.
故选D.
【点睛】
本题实质是求圆中的弦的最大值的问题,圆中弦的弦心距越小,弦越大,所以当弦MN的弦心距最小时,MN的值最大.直角三角形斜边上的高是一个定值,圆的半径也是一个定值,所以当点C,O,G三点共线时,弦心距OH最小,此时MN最大,再构造直角三角形,结合垂径定理,勾股定理则可解决问题.
登录并加入会员可无限制查看知识点解析