在平面直角坐标系中,函数()的图象G与直线交于点A(4,1),点B(1,n)(n≥4,n为整数)在直线l上.
(1)求的值;
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象与直线l围成的区域(不含边界)为W.
①当n=5时,求的值,并写出区域W内的整点个数;
②若区域W内恰有5个整点,结合函数图象,求的取值范围.
(1)m=4;(2)①区域内有2个整点;②
【分析】
(1)把点A的坐标代入反比例函数解析式求解即可;
(2)①先求出当n=5时的值,然后结合函数图象解答即可;
②如图2,分别求出当n=6、n=7时k的值,再结合函数图象求出区域内的整点个数,进而可判断当n≥8时区域内的整点个数,从而可得结果.
【详解】
解:(1)∵点A(4,1)在函数()的图象G上,
∴ m= 4;
(2)①当n=5时,直线经过点B(1,5),
∴ ,解得.
此时区域内有2个整点(2,3)、(3,2),如图1;
②如图2,∵直线过定点A(4,1),n为整数,
∴当n=6时,直线经过点B(1,6),解得,此时区域内有4个整点;
当n=7时,直线经过点B(1,7),解得,区域内有5个整点;
∴ 的取值范围是.
【点睛】
本题考查了一次函数和反比例函数的图象及其图象上点的坐标特征、待定系数法求函数的解析式和区域内的整点个数问题,属于常考题型,熟练掌握一次函数和反比例函数的图象与性质、灵活应用数形结合的思想方法是解答的关键.
自变量的取值范围:
①在一般的情况下,自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数;
②函数y的取值范围也是任意非零实数。
反比例函数性质:
①反比例函数的表达式中,等号左边是函数值y,等号右边是关于自变量x的分式,分子是不为零的常数k,分母不能是多项式,只能是x的一次单项式;
②反比例函数表达式中,常数(也叫比例系数)k≠0是反比例函数定义的一个重要组成部分;
③反比例函数 (k是常数,k≠0)的自变量x的取值范围是不等式0的任意实数,函数值y的取值范围也是非零实数。
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