如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且
，连接OC，BD，OD．
（1）求证：OC垂直平分BD；
（2）过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，连接AD，CD．
①依题意补全图形；
②若AD=6，
，求CD的长．
答案
（1）详见解析；（2）①详见解析；②
【分析】
（1）根据等弧所对的圆心角相等可得∠COD =∠COB，由等角对等边的性质可得OD = OB，继而由线段垂直平分线的判定可求证结论；
（2）①根据题意补全图形即可；
②先根据切线的性质和题（1）可知DB∥CE，进而可得∠AEC=∠ABD，继而在Rt△ABD中，推出BD=8，AB=10，然后推导出DF=4，CF=2，继而在Rt△CFD中，由勾股定理即可求出CD的长．
【详解】
（1）证明：∵
∴∠COD =∠COB．
∵OD = OB，
∴OC垂直平分BD．
（2）解：①补全图形，如图所示．
②∵CE是⊙O切线，切点为C，
∴OC⊥CE于点C．
记OC与BD交于点F，由（1）可知OC垂直BD，
∴∠OCE=∠OFB=90°．
∴DB∥CE．
∴∠AEC=∠ABD．
在Rt△ABD中，AD=6，
，
∴BD=8，AB=10．
∴OA= OB=OC=5．
由（1）可知OC平分BD，即DF= BF，
∴BF=DF=4．
∴
．
∴CF=2．
在Rt△CFD中，
．
【点睛】
本题主要考查与圆有关的计算，圆周角定理、线段垂直平分线的判定、勾股定理、锐角三角函数值等知识点，解题的关键是综合运用所学知识．
AC