正方形的边长为4,点在对角线上(可与点重合),,点在正方形的边上.下面四个结论中,
①存在无数个四边形是平行四边形;
②存在无数个四边形是菱形;
③存在无数个四边形是矩形;
④至少存在一个四边形是正方形.
所有正确结论的序号是_______.
①②④
【分析】
根据平行四边形的判定和性质,菱形的判定,矩形的判定,正方形的判定定理即可得到结论.
【详解】
解:①设正方形的对角线相交于点O,若MN的中点恰好是点O,则经过点O任意一直线PQ,分别与正方形的边AD,BC交于点P,G,通过正方形的性质对称性易得OP=OG,则四边形PMQN是平行四边形,由于PQ的任意性,则存在无数个四边形是平行四边形,故①正确;
②过MN的中点E作垂线,分别与正方形的相邻两边交于P,Q,根据正方形的对称性可得,PE=GE,则四边形是菱形,由于MN的任意性,则存在四边形是菱形;③由①存在由无数个平行四边边形,要是的四边形为正方形则PQ=MN=2=CD,故此时PQ经过正方形对角线的交点,且与正方形的边BC垂直,是唯一的,故不存在无数个四边形是矩形;④由②知存在菱形,故只需满足∠PMQ=90°时,则四边形PMQN时正方形,此时M与点A重合即可,故存在至少存在一个四边形是正方形;
故正确的结论序号是①②④.
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和性质,菱形的判定,矩形的判定,正方形的判定,熟记各定理是解题的关键.
平行四边形的性质:
主要性质
(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。)
(1)如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两组对边分别相等。
(简述为“平行四边形的两组对边分别相等”)
(2)如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两组对角分别相等。
(简述为“平行四边形的两组对角分别相等”)
(3)如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的邻角互补
(简述为“平行四边形的邻角互补”)
(4)夹在两条平行线间的平行线段相等。
(5)如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两条对角线互相平分。
(简述为“平行四边形的对角线互相平分”)
(6)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论)
(7)平行四边形的面积等于底和高的积。(可视为矩形)
(8)过平行四边形对角线交点的直线,将平行四边形分成全等的两部分图形。
(9)平行四边形是中心对称图形,对称中心是两对角线的交点.
(10)平行四边形不是轴对称图形,矩形和菱形是轴对称图形。
注:正方形,矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形,三者具有平行四边形的性质。
(11)平行四边形ABCD中(如图)E为AB的中点,则AC和DE互相三等分,一般地,若E为AB上靠近A的n等分点,则AC和DE互相(n+1)等分。
(12)平行四边形ABCD中,AC、BD是平行四边形ABCD的对角线,则各四边的平方和等于对角线的平方和。
(13)平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。
(14)平行四边形中,两条在不同对边上的高所组成的夹角,较小的角等于平行四边形中较小的角,较大的角等于平行四边形中较大的角。
(15)平行四边形中,一个角的顶点向他对角的两边所做的高,与这个角的两边组成的夹角相等。
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