如果一个圆上所有的点都在一个角的内部或边上,那么称这个圆为该角的角内圆.特别地,当这个圆与角的至少一边相切时,称这个圆为该角的角内相切圆.在平面直角坐标系xOy中,点E,F分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上.
(1)分别以点A(1,0),B(1,1),C(3,2)为圆心,1为半径作圆,得到⊙A,⊙B和⊙C,其中是∠EOF的角内圆的是 ;
(2)如果以点D(t,2)为圆心,以1为半径的⊙D为∠EOF的角内圆,且与直线y=x有公共点,求t的取值范围;
(3)点M在第一象限内,如果存在一个半径为1且过点P(2,2)的圆为∠EMO的角内相切圆,直接写出∠EOM的取值范围.
(1)⊙B,⊙C;(2)1≤t≤2+;(3)60°≤∠EOM<90°
【分析】
(1)画出图象,根据角内相切圆的定义判断即可.
(2)求出两种特殊位置时t的值即可判断.
(3)如图3中,连接OP,OM.首先求出∠POE,根据图象可知当射线OM在∠POF的内部(包括射线OP,不包括射线OF)时,存在一个半径为1且过点P(2,2)的圆为∠EMO的角内相切圆.
【详解】
(1)如图1中,观察图象可知,⊙B和⊙C,其中是∠EOF的角内圆.
故答案为:⊙B,⊙C.
(2)解:如图,
当⊙D1与y轴相切时,设切点为M,则MD1=1,可得t1=1.
当⊙D2与y=x相切时,设切点为H,连接HD2,设直线y=x与直线y=2交于点K,则△HKD2,△MOK都是等腰直角三角形,
∵KH=HD2=1,
∴KD2=,
∵OM=MK=2,
∴MD2=MK+KD2=2+
可得t2=2+,
观察图象可知,满足条件的t的取值范围是1≤t≤2+.
(3)如图3中,连接OP,OM.
∵P(2,2),
∴tan∠POE==,
∴∠POE=60°,
观察图象可知当射线OM在∠POF的内部(包括射线OP,不包括射线OF)时,存在一个半径为1且过点P(2,2)的圆为∠EMO的角内相切圆,
∴60°≤∠EOM<90°.
【点睛】
本题属于圆综合题,考查了直线与圆的位置关系,角内相切圆的定义,解题的关键是理解题意,学会利用特殊位置解决数学问题.
登录并加入会员可无限制查看知识点解析