在平面直角坐标系中,点,若射线上存在点,使得是以为腰的等腰三角形,就称点为线段关于射线的等腰点.
(1)如图, ,
①若,则线段关于射线的等腰点的坐标是_____;
②若,且线段关于射线的等腰点的纵坐标小于1,求的取值范围;
(2) 若,且射线上只存在一个线段关于射线的等腰点,则的取值范围是__________.
(1)(0,2);(2);(3)或或或
【分析】
(1)①根据线段AB关于射线OC的等腰点的定义可知OP=AB=2,即可解答;
②如图,设以点为圆心, 为半径的圆与直线在第二象限的交点为,作垂直轴于点,C位于D点左侧时满足条件;
(2)如图,作CH⊥y轴于H.分别以A,B为圆心,AB为半径作⊙A,⊙B,先求出∠COH=30°,由射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点,推出射线OC与⊙A,⊙B只有一个交点,然后讨论几种特殊情况即可找到范围.
【详解】
解:(1)①如图1中,由题意可知A(0,0),B(2,0),C(0,1),
∵点P是线段AB关于射线OC的等腰点,
∴OP=AB=2,
∴P(0,2);
②如图,设以点为圆心, 为半径的圆与直线在第二象限的交点为,作垂直轴于点,
,
在中,根据勾股定理得,
的取值范围是;
(2)如下图,作CH⊥y轴于H.分别以A,B为圆心,AB为半径作⊙A,⊙B.
由题意C(,1),
∴CH=,OH=1,
∴tan∠COH,
∴∠COH=30°,
当⊙B经过原点时,B(-2,0),此时t=-4,
∵射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点,
∴射线OC与⊙A,⊙B只有一个交点,观察图象可知当-4<t≤-2时,满足条件,
如下图,当点A在原点时,∵∠POB=60°,此时两圆的交点P在射线OC上,满足条件,此时t=0,
如下图,当⊙B与OC相切于P时,连接BP,
∴OC是⊙B的切线,
∴OP⊥BP,
∴∠OPB=90°,
∵BP=2,∠POB=60°,
∴,
∴,此时,
如下图,当⊙A与OC相切时,同法可得,此时,
观察图形可知,满足条件的t的值为,
综上所述,满足条件t的值为或或或.
【点睛】
本题属于三角形的综合题,考查了等腰三角形的判定和性质,理解线段AB关于射线OC的等腰点的定义是解题的关键.
等腰三角形的性质:
1.等腰三角形的两个底角度数相等(简写成“等边对等角”)。
2.等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高重合(简写成“等腰三角形的三线合一”)。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等)。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。
7.等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴,顶角平分线所在的直线是它的对称轴,等边三角形有三条对称轴。
8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
9.等腰三角形中腰大于高
10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)
等腰三角形的判定:
1.定义法:在同一三角形中,有两条边相等的三角形是等腰三角形。
2.判定定理:在同一三角形中,有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称:等角对等边)。
3.顶角的平分线,底边上的中分线,底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。
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如图,在下列等腰三角形中,若,则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是 ( )
A.(1),(2),(3)
C. (2),(3),(4)
B. (1),(3),(4)
D. (1),(2),(4)