如图,在中, .在同一平面内,内部一点到的距离都等于(为常数),到点的距离等于的所有点组成图形.
(1)直接写出的值;
(2)连接并延长,交于点,过点作于点.
①求证:;
②求直线与图形的公共点个数.
(1);(2)①见解析;②直线与图形的公共点个数为1
【分析】
(1)连接OA,OB,OC,推出∠A=90°,再根据S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC列式求解即可;
(2)根据题意得出OB平分∠ABC,即,再根据,即可证明;
(3)设与的切点为,连接,作于点,证明即可得出答案.
【详解】
解:(1)连接OA,OB,OC,
∵AB=3,AC=4,BC=5,
∴AB2+AC2=BC2,
∴∠BAC=90°,
∴S△ABC=AB∙AC=×3×4=6,
∵S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC
=(AB+AC+BC)×a
=(3+4+5)×a
∴×12a=6
∴a=1;
(2)
①由题意可知图形是以为圆心,为半径的圆,与相切,
∵点O到AB、BC的距离为1,
∴OB平分∠ABC,
∴,
∵,
∴∠A=90°,
∵,
∴,
∴∠BMA=90°-∠ABM,
∠BMN=90°-∠NBM,
∴;
②如图,设与的切点为,连接,作于点,
∵,OE⊥MN,
∴∠ODM=∠OEM,
由①可知∠BMA=∠BMN,
又∵OM=OM,
∴△ODM≌△OEM,
∴,
∴为的半径,
∴为的切线,
∴直线与图形的公共点个数为1.
【点睛】
本题考查了圆的性质,勾股定理和全等三角形的判定,掌握知识点是解题关键.
三角形全等判定定理:
1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”),这一条也说明了
三角形具有稳定性的原因。
2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。
3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。
4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)
5、直角三角形全等条件有:斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边,直角边”) 所以:SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。
注意:在全等的判定中,没有AAA和SSA,这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。
三角形全等的判定公理及推论:
(1)“边角边”简称“SAS”
(2)“角边角”简称“ASA”
(3)“边边边”简称“SSS”
(4)“角角边”简称“AAS”
注意:在全等的判定中,没有AAA和SSA,这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。
要验证全等三角形,不需验证所有边及所有角也对应地相同。
以下判定,是由三个对应的部分组成,即全等三角形可透过以下定义来判定:
①S.S.S. (边、边、边):
各三角形的三条边的长度都对应地相等的话,该两个三角形就是全等。
②S.A.S. (边、角、边):
各三角形的其中两条边的长度都对应地相等,且两条边夹着的角都对应地相等的话,该两个三角形就是全等。
③A.S.A. (角、边、角):
各三角形的其中两个角都对应地相等,且两个角夹着的边都对应地相等的话,该两个三角形就是全等。
④A.A.S. (角、角、边):
各三角形的其中两个角都对应地相等,且没有被两个角夹着的边都对应地相等的话,该两个三角形就是全等。
⑤R.H.S. / H.L. (直角、斜边、边):
各三角形的直角、斜边及另外一条边都对应地相等的话,该两个三角形就是全等。 但并非运用任何三个相等的部分便能判定三角形是否全等。以下的判定同样是运用两个三角形的三个相等的部分,但不能判定全等三角形:
⑥A.A.A. (角、角、角):
各三角形的任何三个角都对应地相等,但这并不能判定全等三角形,但则可判定相似三角形。
⑦A.S.S. (角、边、边):
各三角形的其中一个角都相等,且其余的两条边(没有夹着该角),但这并不能判定全等三角形,除非是直角三角形。
但若是直角三角形的话,应以R.H.S.来判定。
解题技巧:
一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。
因此我们可以来采取逆思维的方式。
来想要证全等,则需要什么条件:要证某某边等于某某边,那么首先要证明含有那两个边的三角形全等。
然后把所得的等式运用(AAS/ASA/SAS/SSS/HL)证明三角形全等。
有时还需要画辅助线帮助解题。常用的辅助线有:倍长中线,截长补短等。
分析完毕以后要注意书写格式,在全等三角形中,如果格式不写好那么就容易出现看漏的现象。
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