如图,在平面直角坐标系中,函数的图像交轴于点、,交轴于点,它的对称轴交轴于点.过点作轴交抛物线于点,连接并延长交轴于点,交抛物线于点.直线交于点,交抛物线于点,连接、.
备用图
(1)点的坐标为:______;
(2)当是直角三角形时,求的值;
(3)与有怎样的位置关系?请说明理由.
(1)(1,0);(2) 或;(3)平行,理由见解析
【分析】
(1)根据二次函数的对称轴为,代入即可求出E点坐标;
(2)将ED、AF的解析式用的代数式表示,然后由DE解析式令y=0求出F点坐标,由AF解析式令y=求出H点坐标,再根据△HEF是直角三角形分哪个顶点为直角顶点进行讨论,由勾股定理求解即可;
(3)直线DE和抛物线联立方程组求出G点坐标,直线AF和抛物线联立方程组求出K点坐标,最后计算直线GK的和直线HE的相等即可求解.
【详解】
解:(1)由题意可知,抛物线的对称轴为,
∴E点的坐标为(1,0),
故答案为(1,0).
(2)由题意知,C点坐标为(0,3a),C和D点关于对称轴对称,∴D坐标为(2,3a),
设直线DE的解析式为y=kx+m,代入E(1,0)和D(2,3a),
即,解得,
∴直线DE的解析式为y=3ax-3a,
令y=0,∴F(0,-3a),
令中,即:,
解得,∴A(-1,0),
设直线AF的解析式为y=bx+t,代入A(-1,0),F(0,-3a),
即,解得,
∴直线AF的解析式为y=-3ax-3a,
令y=-3ax-3a中y=3a,解得H点坐标(-2,3a),
∴H(-2,3a),E(1,0),F(0,-3a)
故EF²=(1-0)²+(0+3a)²=1+9a²,
EH²=(1+2)²+(0-3a)²=9+9a²,
FH²=(0+2)²+(-3a-3a)²=36a²+4,
∵△EFH为直角三角形,∴分类讨论谁是直角顶角,
情况一:∠E为直角顶角时,则EF²+EH²=FH²,
即:1+9a²+9+9a²=36a²+4,解得:a=,又a>0,故a=;
情况二:∠F为直角顶角时,则EF²+FH²=EH²,
即:1+9a²+36a²+4=9+9a²,解得:a=,又a>0,故a=;
情况三:∠H为直角顶角时,则FH²+EH²=EF²,
即:36a²+4+9+9a²=1+9a²,此时无解;
∴综上所述,a的值为或;
故答案为:或;
(3)联立直线DF与抛物线的解析式:
,整理得:,
解得,,∴G点坐标为(-3,-12a),
同理,联立直线AF与抛物线的解析式:
,整理得:,
解得,,∴K点坐标为(6,-21a),
∴直线GK的,
直线HE的,
即直线GK的k值与直线HE的k值相同,
∴GK与HE平行.
故答案为:与有怎样的位置关系是平行.
【点睛】
本题考查了二次函数的图像及性质,二次函数与一次函数的交点坐标的求法,一次函数的解析式,直角三角形的性质等知识点,熟练掌握二次函数的性质,学会联立方程组求函数的交点坐标是解决本题的关键.
二次函数的三种表达形式:
①一般式:
y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为 [,]
把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组,就能解出a、b、c的值。
②顶点式:
y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同,当x=h时,y最值=k。
有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
例:已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10),求y的解析式。
解:设y=a(x-1)2+2,把(3,10)代入上式,解得y=2(x-1)2+2。
注意:与点在平面直角坐标系中的平移不同,二次函数平移后的顶点式中,h>0时,h越大,图像的对称轴离y轴越远,且在x轴正方向上,不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
具体可分为下面几种情况:
当h>0时,y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到;
当h<0时,y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到;
当h>0,k>0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)2+k的图象;
当h>0,k<0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;
当h<0,k>0时,将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;
当h<0,k<0时,将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。
③交点式:
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线,即b2-4ac≥0] .
已知抛物线与x轴即y=0有交点A(x1,0)和 B(x2,0),我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。
由一般式变为交点式的步骤:
二次函数
∵x1+x2=-b/a, x1?x2=c/a(由韦达定理得),
∴y=ax2+bx+c
=a(x2+b/ax+c/a)
=a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]
=a(x-x1)(x-x2).
重要概念:
a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向。a>0时,开口方向向上;
a<0时,开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。
a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。
能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式;
能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用;
能熟练地运用二次函数解决实际问题。
二次函数解释式的求法:
就一般式y=ax2+bx+c(其中a,b,c为常数,且a≠0)而言,其中含有三个待定的系数a ,b ,c.求二次函数的一般式时,必须要有三个独立的定量条件,来建立关于a ,b ,c 的方程,联立求解,再把求出的a ,b ,c 的值反代回原函数解析式,即可得到所求的二次函数解析式。
1.巧取交点式法:
知识归纳:二次函数交点式:y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)x1,x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。
已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时,用交点式比较简便。
①典型例题一:告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标,和第三个点,可求出函数的交点式。
例:已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ,且通过点(2,8),求二次函数的解析式。
点拨:
解设函数的解析式为y=a(x+2)(x-1),
∵过点(2,8),
∴8=a(2+2)(2-1)。
解得a=2,
∴抛物线的解析式为:
y=2(x+2)(x-1),
即y=2x2+2x-4。
②典型例题二:告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴,可利用抛物线的对称性求解。
例:已知二次函数的顶点坐标为(3,-2),并且图象与x轴两交点间的距离为4,求二次函数的解析式。
点拨:
在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下,问题比较容易解决.由顶点坐标为(3,-2)的条件,易知其对称轴为x=3,再利用抛物线的对称性,可知图象与x轴两交点的坐标分别为(1,0)和(5,0)。此时,可使用二次函数的交点式,得出函数解析式。
2.巧用顶点式:
顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0),其中(h,k)是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴,或能够先求出抛物线顶点时,设顶点式解题十分简洁,因为其中只有一个未知数a。在此类问题中,常和对称轴,最大值或最小值结合起来命题。在应用题中,涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时,一般用顶点式方便.
①典型例题一:告诉顶点坐标和另一个点的坐标,直接可以解出函数顶点式。
例:已知抛物线的顶点坐标为(-1,-2),且通过点(1,10),求此二次函数的解析式。
点拨:
解∵顶点坐标为(-1,-2),
故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 (a≠0)。
把点(1,10)代入上式,得10=a·(1+1)2-2。
∴a=3。
∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2,即y=3x2+6x+1。
②典型例题二:
如果a>0,那么当 时,y有最小值且y最小=;
如果a<0,那么,当时,y有最大值,且y最大=。
告诉最大值或最小值,实际上也是告诉了顶点坐标,同样也可以求出顶点式。
例:已知二次函数当x=4时有最小值-3,且它的图象与x轴两交点间的距离为6,求这个二次函数的解析式。
点拨:
析解∵二次函数当x=4时有最小值-3,∴顶点坐标为(4,-3),对称轴为直线x=4,抛物线开口向上。
由于图象与x轴两交点间的距离为6,根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是(1,0)和(7,0)。
∴抛物线的顶点为(4,-3)且过点(1,0)。
故可设函数解析式为y=a(x-4)2-3。
将(1,0)代入得0=a(1-4)2-3, 解得a=13.
∴y=13(x-4)2-3,即y=13x2-83x+73。
③典型例题三:告诉对称轴,相当于告诉了顶点的横坐标,综合其他条件,也可解出。
例如:
(1)已知二次函数的图象经过点A(3,-2)和B(1,0),且对称轴是直线x=3.求这个二次函数的解析式.
(2)已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1,图象交y轴于点(0,2),且过点(-1,0),求这个二次函数的解析式.
(3)已知抛物线的对称轴为直线x=2,且通过点(1,4)和点(5,0),求此抛物线的解析式.
(4)二次函数的图象的对称轴x=-4,且过原点,它的顶点到x轴的距离为4,求此函数的解析式.
④典型例题四:利用函数的顶点式,解图像的平移等问题非常方便。
例:把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______。
点拨:
解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114。
∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的,
∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。
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